МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 21 (02.04.2011). Идущие порознь

1.

Винни-Пух и Пятачок вышли из своих домиков навстречу друг другу и встретились через 2 минуты. Через какое время Пятачок придет к дому Пуха, если скорость Винни-Пуха в два раза больше скорости Пятачка?

Ответ Решение

Ответ. Через 4 минуты.

Решение. Путь от места их встречи до дома Пуха Пух прошел за 2 минуты. А т.к. скорость Пятачка в два раза меньше, то он пройдет этот путь за 4 минуты.

2.

Винни-Пух вышел из гостей от Кристофера Робина на 1 минуту позже Пятачка. Через какое время он догонит Пятачка, если его скорость в два раза больше скорости Пятачка?

Ответ Решение

Ответ. Через 1 минуту.

Решение. За одну минуту Пух проходит то же расстояние, что и Пятачок за 2 минуты. Значит, он догонит Пятачка через минуту.

3.

Тигра и Винни-Пух пошли в гости к Кристоферу Робину. Сначала Тигра побежал в два раза быстрее Винни-Пуха, но, пробежав половину дороги, неожиданно утомился и оставшийся путь прополз со скоростью в два раза меньшей скорости Винни-Пуха. Кто раньше встретился с Кристофером Робином — Тигра или Винни-Пух?

Ответ Решение

Ответ. Винни-Пух.

Решение. Когда Тигра пробежит половину пути, Пух пройдет только четверть. Затем Пуху останется пройти три четверти пути. За это время Тигра проползет только ³/₈ пути, что меньше половины. Т.е. Пух придет раньше.

4.

Тигра умеет бегать со скоростью 30 километров в час и очень хочет научиться тратить на каждый километр на одну минуту меньше. С какой скоростью нужно научиться бегать Тигре?

Ответ Решение

Ответ. 60 км/ч.

Решение. Т.к. Тигра тратит на каждые 30 километров 60 минут, то на каждый километр он тратит 2 минуты. Если он будет тратить на каждый километр на одну минуту меньше, то будет бегать со скоростью 1 км/мин, или 60 км/ч.

5.

Упрямый Винни-Пух решил дойти пешком до Северного полюса. В 12 часов его нагнал Кристофер Робин на велосипеде и подвёз до того места, откуда до Северного полюса оставалось столько же, сколько Винни уже прошёл пешком. На Северном полюсе Винни-Пух был в 14 часов. Сколько времени потребуется Винни-Пуху на обратный путь пешком, если известно, что на велосипеде его везли со скоростью вдвое большей, чем он ходит пешком?

Ответ Решение

Ответ. 4 часа.

Решение. Пусть S — место, с которого начал свой путь Пух, K — место, где он встретился c Кристофером Робином, L — место, с которого он снова пошел пешком, N — Северный полюс. На обратном пути Пуху надо пройти путь NS = NL + LK + KS = 2NL + LK. При этом за 2 часа Пух проходит отрезок LS и проезжает отрезок KL. Значит, за 4 часа он проходит отрезок KL и два отрезка LS = NL. Т.е. путь NS он пройдет за 4 часа.

6.

Юля и Таня делали уроки. Каждая из них начала с математики, затем выучила стихотворение, следом прочитала текст на английском языке и, наконец, выполнила упражнение по русскому языку. На каждый предмет у Юли уходило в два раза меньше времени, чем на предыдущий, а у Тани — в 4 раза меньше времени, чем на предыдущий. Начали и закончили они одновременно. Что делала Таня, когда Юля взялась за русский язык?

Ответ Решение

Ответ. Учила стихотворение.

Решение. Пусть Юля делала русский x минут, а Таня — y минут. Тогда на оставшиеся предметы они потратили: Юля x + 2x + 4x + 8x = 15x минут, а Таня y + 4y + 16y + 64y = 85y минут. Т.к. начали и закончили они одновременно, то 85y = 15x. Значит, x = ¹⁷/₃·y. Но тогда Юля начал делать русский через A = 14·¹⁷/₃·y = ²³⁸/₃·y = 79¹/₃·y минут. Т.к. Таня начала учить стихотворение через 64y < A минут, а закончила через 80y > A минут, то когда Юля взялась за русский язык, Таня учила стихотворение.

7.

Двое бегут с разной скоростью вниз по эскалатору метро. Кто из них насчитает больше ступенек — тот кто бежит быстрее, или тот кто бежит медленнее?

Ответ Решение

Ответ. Тот, кто быстрее.

Решение. Насчитает ступенек больше тот, кто пробежит по самому эскалатору большее расстояние. А пробежит тот, кто бежит быстрее.

8.

Однажды улитка заползла на вершину бамбука, который растет так, что каждая его точка поднимается вверх с одной и той же скоростью. Путь вверх занял у улитки 7 часов. Отдохнув на вершине бамбука ровно час, она спустилась на землю за 8 часов. Во сколько раз скорость улитки больше скорости роста бамбука (обе скорости постоянны)?

Ответ Решение

Ответ. В 9 раз.

Решение. Всего улитка провела на бамбуке 7 + 1 + 8 = 16 часов. Пусть, поднимаясь вверх, улитка проползла расстояние равное x, а за 1 час отдыха и 8 часов спуска улитки бамбук подрос на y. Тогда, спускаясь вниз, улитка проползла x + y. Составим выражения для определения скорости улитки при движении вверх по бамбуку ^x/₇ и при спуске ^{(x + y)}/₈. Получим, что ^x/₇ = ^{(x + y)}/₈, т.е. 8x = 7x + 7y, или x = 7y.

Так как бамбук подрос на y за 9 часов, скорость его роста равна ^y/₉. Выполняя деление последнего равенства на 7, получим, что ^x/₇ = ^7y/₇, откуда ^x/₇ = 9·^y/₉.

Значит, скорость роста бамбука в 9 раз меньше скорости улитки.