МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 23 (16.04.2011). Составление уравнений

1.

Решите уравнение (x:2 − 3):2 − 1 = 3.

Решение Ответ

Решение. Делаем всё в обратном порядке:
(x:2 − 3):2 − 1 = 3
(x:2 − 3):2 = 4
x:2 − 3 = 8
x:2 = 11
x = 22.

Ответ. 22.

2.

Деду 56 лет, внуку — 14. Через сколько лет дедушка будет вдвое старше внука?

Решение Ответ

Решение. Пусть это произойдёт через x лет. Тогда
56 + x = 2(14 + x)
56 + x = 28 + 2x
28 = x

Ответ. Через 28 лет.

3.

Упаковка чая на 50 копеек дороже пакета кофе. Вася купил 7 упаковок чая и 6 пакетов кофе, потратив 68 рублей 50 копеек. Сколько стоит пакет кофе?

Решение Ответ

Решение. Пусть пакет кофе стоит x рублей, тогда упаковка чая стоит x + 0,5. Значит,
7(x + 0,5) + 6x = 68,5
7x + 3,5 + 6x = 68,5
13x = 65
x = 5.

Ответ. 5 рублей.

4.

9 одинаковых тетрадок стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких же тетрадок — 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна тетрадка?

Решение Ответ

Решение. Обозначим за x рублей цену одной тетрадки. Тогда условие задачи можно переписать так:
11 < 9x < 12, 15 < 13x < 16.
Из левого неравенства первого соотношения следует, что
1,222... < x,
а из правого неравенства второго соотношения
x < 1,230... < 1,24.
Значит, тетрадка стоит больше, чем 1 руб. 22 коп., и меньше, чем 1 руб. 24 коп. Единственно возможный вариант 1 руб. 23 коп.

Ответ. 1 руб. 23 коп.

5.

Представьте число 45 в виде суммы четырёх чисел так, что после прибавления 2 к первому числу, вычитания 2 из второго, умножения на 2 третьего и деления на 2 четвёртого эти числа станут равными.

Решение Ответ

Решение. Пусть в итоге все числа стали равны x.
Тогда изначально числа были равны x − 2, x + 2, ^x/₂, 2x. Получается, что
x − 2 + x + 2 + ^x/₂ + 2x = 45
4,5x = 45
x=10.

Ответ. 8 + 12 + 5 + 20 = 45.

6.

В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором на 10 орехов меньше, чем в первом и третьем. Сколько орехов в третьем ящике?

Решение Ответ

Решение. Обозначим количество орехов в ящиках x, y, z соответственно. Тогда получаем, что
x + 6 = y + z
y + 10 = x + z.
Сложим эти два равенства
x + y + 16 = x + y + 2z
16 = 2z
z = 8. Значит, в третьем ящике 8 орехов.

Ответ. 8 орехов.

7.

Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль — 5, а Тофсла — 4. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются.)

Решение Ответ

Решение. Если в Вифслу, Тофслу и Хемуля попали x, y и z снежков соответственно, то всего было брошено 13 + x + y + z снежков (поскольку 13 снежков не достигли цели). С другой стороны, Вифсла бросил 6x, Хемуль — 5y, а Тофсла — (4z + 1) снежков (вместе с первым). Получаем уравнение
6x + 5y + 4z + 1 = 13 + x + y + z,
5x+4y+3z = 12.
Так как x, y, z — целые неотрицательные числа, то x может быть равен 1 или 2, y — 1, 2 или 3, z — 1, 2, 3 или 4. Перебором находим единственное решение x=1, y=1, z=1.

Ответ. В каждого попало по 1 снежку.

8.

Ваня 28 ноября сказал: «Сегодня разность между числом прожитых мною полных месяцев и числом полных лет впервые стала равна 144». Когда у Вани День рождения?

Решение Ответ

Решение. Пусть с того момента, как Ваня родился, до 28 ноября этого года прошло x лет и ещё y месяцев (y от 0 до 11). Значит, полных месяцев всего прошло 12x + y. Тогда
12x + y − x = 144
11x + y = 144
11x = 144 − y.
Значит, 144 − y делится на 11. Но единственно подходящее из возможных y равно 1. Получается, что День рождения у Вани за 1 месяц до 28 ноября, то есть, 28 октября.

Ответ. 28 октября.