МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Имеются три одинаковые на вид старинные монеты. Две из них имеют одного веса, а третья легче. Можно ли её обнаружить с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь?

Из девяти монет одна фальшивая, которая легче настоящей. Можно ли найти её за два взвешивания на чашечных весах без гирь?
 

Есть шесть монет, из которых две фальшивые, весящие поровну, но легче настоящих. За три взвешивания на чашечных весах определите обе фальшивые монеты.
 

Есть пять монет, из которых три монеты настоящие и две фальшивые. Одна из фальшивых монет весит меньше настоящей, а другая — больше. Сколько нужно взвешиваний, чтобы узнать, какие монеты настоящие?
 

Среди четырёх монет одна фальшивая. Она то ли легче настоящей, то ли тяжелее. Масса настоящей монеты 5 г. Имеется одна гиря массы 5 г. За два взвешивания на чашечных весах обнаружьте фальшивую монету, выяснив при этом, легче она или тяжелее настоящей.
 

а) Имеется 75 монет. Среди них 74 одинаковые настоящие монеты и одна фальшивая, отличающаяся от них по весу. Необходимо выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая. (Находить эту монету не обязательно.) Можно ли это сделать за два взвешивания на чашечных весах без гирь?

б) А если монет не 75, а 101?
 

Из 101 монеты 50 — фальшивые, каждая на 1 грамм легче настоящей. За одно взвешивание на весах с делениями определите, является ли данная монета фальшивой.
 

На монетном заводе 100 рабочих. Каждому выдано по килограмму золота для изготовления 100 десятиграммовых монет. Среди рабочих есть один рационализатор, который делает монеты весом 9 граммов. Можно ли при помощи одного взвешивания на весах с делениями найти обманцика?
 

Имеется 4 предмета попарно различного веса. С помощью чашечных весов без гирь за пять взвешиваний расположите все эти предметы в порядке возрастания весов.

Домашние задачи

В гостиницу приехал путешественник. У него была лишь серебряная цепочка из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним звеном цепочки. Какое звено цепочки надо распилить, чтобы прожить в гостинице 7 дней и ежедневно расплачиваться с хозяином? (Хозяин может давать сдачу звеньями, полученными им ранее.)

На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым? (Торт не обязательно резать на равные части.)
 

Среди 9 монет две фальшивые. Определите фальшивые монеты за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь, если известно, что обе фальшивые монеты весят одинаково, причём тяжелее настоящих.