МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Можно ли разменять 25 тугриков десятью купюрами достоинством в 1, 3 и 5 тугриков?
 

Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться число 2002?
 

Можно ли составить магический квадрат (суммы чисел по столбцам и по строкам равны) из первых 36 простых чисел?
 

Можно ли нарисовать а) 6-звенную; б) 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекает ровно одно из остальных звеньев?
 

Докажите, что при игре в крестики-нолики на доске 3×3 у играющего крестиками есть беспроигрышная стратегия.
 

В колбу пустили бактерию. Каждую минуту число бактерий удваивается. Через три часа колба заполнилась бактериями. В какой момент бактериями была заполнена четверть колбы?

На прямой вне отрезка AB отмечены 45 точек. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.
 

а) На столе лежит 7 монет решкой вверх. За одну операцию разрешается перевернуть любые 6 монет. Можно ли за несколько операций добиться, чтобы все монеты легли орлом вверх?

б) Тот же вопрос, если монет 8, а разрешается переворачивать по 7.

Дополнительные задачи

В клетчатом квадрате, разрезая по границам клеток, прорезали квадратную дырку (меньшего размера). Может ли оставшаяся фигура состоять ровно из 250 клеток?

Докажите, что число способов расставить на доске 8 ферзей так, чтобы они не били друг друга, чётно.

Домашние задачи

Барон Мюнхгаузен, вернувшийся из кругосветного путешествия, рассказывает, что по пути он пересек границы своего княжества 13 раз. Верите ли Вы ему?
 

Можно ли представить 1 в виде суммы дробей ¹/_a, ¹/_b, 1/_c и 1/_d, где a, b, c и d — а) различные натуральные числа; б) нечётные натуральные числа (не обязательно различные)?
 

Напишите, используя каждую из цифр 1, 2, 3 и 4 ровно два раза, восьмизначное число, у которого между единицами стоит одна цифра, между двойками — две цифры, между тройками — три, а между четвёрками — четыре цифры.