МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Медиана АМ треугольника АВС делит его на два треугольника с равными периметрами. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
 

Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Периметр треугольника АВС равен периметру треугольника ABD, а периметр треугольника ACD равен периметру треугольника BCD. Докажите равенство АО = ВО.
 

Настя придумала на экзамене по геометрии новый признак равенства треугольников: два треугольника равны, если соответственно равны две их стороны и угол не между ними. Не ошиблась ли Настя?
 

На сторонах АВ, ВС и СА равностороннего треугольника взяты соответственно точки К, М и Р так, что АК = ВМ = СР. Докажите, что прямые АМ, ВР и СК при пересечении образуют равносторонний треугольник.
 

Сколько треугольников получается на чертеже в предыдущей задаче?
 

Даны прямая и точки А, В по одну сторону от неё. Луч света, выпущенный из точки A, отразившись от этой прямой в точке С, попадает в точку В. Постройте точку С. (Указание. Угол падения равен углу отражения).
 

Разделите треугольник с углами 15°, 105°, 60° на три равнобедренных треугольника.
 

С помощью циркуля и линейки разделите угол величиной а) 54° на три равные части; б) 19° на 19 равных частей.
 

На стороне АВ квадрата ABCD во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ABM. Найдите величину угла DMC.
 

На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне него построены квадраты ACDE и BCKF. Из точек E и F на продолжение гипотенузы опущены перпендикуляры EM и FN. Докажите равенство EM + FN = AB.

Домашние задачи

На стороне АС треугольника АВС отметили точку Е. Периметр треугольника АВС равен 25 см, периметр АВЕ — 15 см, а периметр треугольника ВСЕ равен 17 см. Найдите длину отрезка ВЕ.
 

Нарисуйте три равных треугольника, из которых можно составить равносторонний треугольник.
 

Биссектриса BL, медиана CM и высота AH треугольника ABC пересекаются в точке O, причём AO = OB. Докажите, что треугольник АВС равносторонний.

Дополнительные задачи

Петя придумал на том же экзамене признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане к третьей стороне. Есть ли у Пети шанс получить на экзамене оценку выше Насти?
 

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, вдвое короче другой биссектрисы. Найдите величины углов треугольника.