МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

а) Разрежьте шахматную доску на доминошки размером 1×2.

б) Разрежьте шахматную доску без левой нижней и левой верхней угловых клеток на доминошки 1×2.

в) Можно ли разрезать шахматную доску без левой нижней и правой верхней угловых клеток на доминошки 1×2?
 

Замок имеет форму прямоугольника 5×7 клеток. Каждая клетка кроме центральной — комната. А в центральной — бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, есть дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

Можно ли прямоугольную доску размером 5×9 разрезать на уголки ?
 

Можно ли доску размером 8×8 с вырезанной правой верхней клеткой разрезать на триминошки ?
 

Можно ли шахматную доску разрезать на 15 вертикальных и 17 горизонтальных доминошек?
 

Можно ли доску размером 10×10 покрыть фигурами вида ?
 

На доске 8×8 для «морского боя» стоит трёхпалубный корабль (прямоугольник 1×3). Какого наименьшее число выстрелов достаточно, чтобы наверняка ранить его?
 

Прямоугольное дно коробки было выложено квадратами 2×2 и прямоугольниками 1×4. Один квадрат потеряли и вместо него нашли прямоугольник. Можно ли теперь сложить дно этой коробки?
 

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 вырезали 99 квадратиков размером 2×2. Докажите, что можно вырезать ещё хотя бы один такой квадратик.

Домашние задачи

Можно ли из пяти изображённых фигур сложить прямоугольник 4×5?

На каждой клетке доски 9×9 сидит по одному жуку. В некоторый момент времени жуки взлетели и приземлились. Каждый — на соседнюю по диагонали клетку. Докажите, что при этом освободятся хотя бы 9 клеток.
 

Пете подарили набор «Юный паркетчик», состоящий из 12 триминошек . Хулиган Вася заменил одну из них на уголок . Сможет ли Петя сложить квадрат размером 6×6?

Дополнительные задачи

Замок имеет форму правильного треугольника, разделённого на 25 маленьких залов той же формы. В каждой стене между залами проделана дверь. Путник ходит по замку, не посещая более одного раза ни один из залов. Найдите наибольшее число залов, которое ему удастся посетить.
 

Дан куб 6×6×6. Найдите максимальное число параллелепипедов 4×1×1, которые можно поместить в этот куб без пересечений.
 

В квадратный замок 8×8, разбитый на квадратные комнаты, зашёл маляр. У него две краски — белая и чёрная. Зайдя в комнату, маляр перекрашивает её в противоположный цвет. Изначально весь замок выкрашен в белый цвет. Может ли он покрасить его а) в шахматном порядке; б) «зеброй»?