МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ
Занятие 2. ИГРЫ. СИММЕТРИЯ
Во всех задачах-играх обычно (если не оговорено противного) предполагают, что играют двое, ходы делают по очереди (игроки не могут пропустить ход). В предлагаемых играх надо ответить на один и тот же вопрос: кто побеждает, начинающий (первый) или его партнёр (второй)? Решение задачи-игры состоит из двух частей:
- стратегия игры одного из игроков;
- доказательство того, что как бы ни действовал противник, указанная стратегия приведёт к выигрышу.
| 1. | Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причём так, чтобы пятаки не накладывались один на другой. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре? |
| 2. |
|
| 3. | На столе лежат две кучи конфет. Малыш и Карлсон играют в игру: ходят по очереди, за один ход можно взять любое число конфет из одной кучи. Проигрывает тот, кому больше нечего брать. Первым ходит Малыш. Кто может обеспечить себе победу и как ему следует играть, если а) в кучках по 7 конфет;
б) в одной куче 27 конфет, а в |
| 4. | В противоположные углы клетчатой доски 8×8 ставятся чёрная и белая ладьи, остальные поля заполняются серыми пешками. Двое играющих ходят по очереди каждый своей ладьей. Каждым ходом игрок обязан что-нибудь съесть — пешку или
ладью противника. Проигрывает тот, кто не сможет сделать хода. Кто выиграет при правильной игре? |
| 5. | На столе лежат 2002 спички. Двое играющих ходят по очереди и могут брать по 3, 6, 9 или 12 спичек. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре? |
| 6. | На шахматной доске стоит несколько ладей. Докажите, что какая-то из ладей бьёт не более двух других. |
| 7. | Парламент состоит из двух равных по численности палат. На совместном заседании присутствовали все, при голосовании никто не воздержался. Когда было объявлено, что некоторое решение было принято с перевесом в 23 голоса, оппозиция закричала: «Это обман!» Почему? Дополнительные задачи |
| 8. | Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки шахматной доски. Начинающий ставит крестики, его соперник — нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, где крестиков больше, чем ноликов, — это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше,— очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает. |
| 9. | Трое теннисистов решили поиграть на выбывание: победитель очередной партии играет следующую партию с тем, кто не участвовал в этой, а проигравший пропускает одну партию. Миша сыграл 10 партий, |
| 10. | На поле а1 стоит король. Двое по очереди двигают его по шахматной доске, причём ставить короля на те клетки, где он уже был, нельзя. Проигрывает тот, кто не сможет сделать сможет ход. Кто выиграет при правильной игре? Домашние задачи |
| 11. | Петя и Вася выложили в ряд 30 коробок конфет и стали играть в такую игру. Они ходят по очереди, и каждый своим ходом может съесть содержимое любой коробки или двух коробок, лежащих рядом. Тот, кому после очередного хода
противника останутся только пустые коробки, проигрывает. Первый ход делает Петя. Докажите, что он может играть так, чтобы обеспечить себе победу, как бы ни играл Вася. |
| 12. | Дан прямоугольный параллелепипед размерами а) 4×4×4; б) 4×4×3; в) 4×3×3, составленный из единичных кубиков. За ход разрешается проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один непроткнутый кубик. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре? |
У шестиклассника и cемиклассника есть большая шоколадка размером 13×26. За ход можно сделать прямолинейный разлом одного из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Победитель съедает все 338 долек. Захотите ли Вы начать игру при таких условиях?