МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок кока-колы по 1 доллару 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 35 центов и бифштекс за 2 доллара 80 центов. Бармен сказал, что с него 20 долларов 50 центов. Ковбой Джо достал револьвер. Как он догадался, что бармена надо перевоспитывать?
 

Генерал построил солдат в колонну по 4, но при этом солдат Иванов остался лишним. Тогда генерал построил солдат в колонну по 5. И снова Иванов остался лишним. Когда же и в колонне по 6 Иванов остался лишним, генерал посулил ему наряд вне очереди, после чего в колонне по 7 Иванов нашёл себе место и никого лишнего не осталось. Какое наименьшее количество солдат могло быть у генерала?
 

Можно ли прямоугольник со сторонами 2,3×3,5 см разрезать на прямоугольнички 0,08×0,07 см?
 

Докажите, что m³ + 2m делится на 3 для любого натурального m.
 

Дети выходят из леса парами. В каждой паре идут мальчик и девочка, причём у мальчика либо в два раза больше орехов, либо в два раза меньше орехов, чем у его девочки. Может ли всего у детей быть 100 орехов?
 

Имеются три автомата. Если одному из них на вход дать карточку, где написаны числа (m, n), то он выдаст карточку с числами (n, m), если другому — выдаст (n + m, n), третьему — выдаст (m - n, n). Можно ли с помощью этих автоматов из карточки (42, 21) получить карточку (19, 84)?
 

На поле Чудес растут деревья с золотыми монетами. Каждую ночь на каждом дереве вырастает по одной новой монете. 1 марта на деревьях было всего 1000 монет. В один из дней марта Буратино посадил еще одно дерево, и 31 марта на деревьях оказалось всего 2000 монет. В какой день Буратино посадил дерево?
 

Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 11?

Домашние задачи

Среди философов каждый седьмой — математик, а среди математиков каждый девятый — философ. Кого больше, математиков или философов?
 

Докажите, что n⁵ + 4n делится на 5 при любом натуральном n.
 

Впишите в кружки 12 последовательных простых чисел от 3 до 41 так, чтобы суммы трёх чисел в вершинах треугольников были равны. Суммы чисел на внутренней и внешней окружностях также должны быть одинаковы.