МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Может ли слон за миллион ходов попасть с поля а1 на поле а8?
 

Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять одну монету на 26 монет?
 

а) Волк и семеро козлят встали в один ряд и играют в чехарду: каждую секунду двое из них, стоящие через одного, могут, прыгнув, поменяться местами. Если окажется, что они стоят в обратном порядке по сравнению с исходным, игра заканчивается. Закончится ли игра?

б) А если в игру играют Али-баба и сорок разбойников?
 

По кругу расставлены числа 12, 7, 23, 45, 13, 5. За один ход можно прибавить или отнять одно и то же число (не обязательно целое) от двух стоящих рядом чисел. Можно ли за несколько ходов получить числа 7, 13, 4, 1, 5, 12?
 

Фигура «верблюд» ходит по доске 10×10 ходом типа (1,3) (то есть она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем ещё на три поля в перпендикулярном направлении; шахматный конь, например, ходит ходом типа (1,2)). Можно ли пройти ходом «верблюда» с какого-то исходного поля на соседнее с ним?
 

В таблице 8×8 одна из клеток закрашена чёрным цветом, все остальные — белым. а) Докажите, что с помощью перекрашиваний строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. (Под перекрашиванием строки или столбца понимаем изменение цвета всех клеток в строке или столбце.)

б) А если таблица имеет размер 3×3 и закрашена в ней угловая клетка?
 

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий. Может ли случиться, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?
 

В алфавите языка племени УЫУ две буквы: У и Ы, причём этот язык обладает интересным свойством: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ или УЫУУ, то смысл слова не изменится. Смысл не меняется и при добавлении в любое место слова буквосочетаний УУ, ЫЫУУЫЫ или УЫЫУ. Можно ли утверждать, что слова УЫЫ и УЫУЫ имеют одинаковый смысл?
 

Домашние задачи

Решите шестую задачу для таблицы 3×3, если закрашены 4 угловые клетки.
 

Вдоль забора растут 8 кустов малины. Количества ягод на соседних кустах отличаются на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?
 

Расставьте по кругу числа 14, 27, 36, 57, 178, 467, 590 и 2345 так, чтобы любые два соседних числа имели общую цифру.