МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

На столе лежали монеты: 1 коп, 5 коп, 10 коп. Вася взял одну из монет в левую руку и умножил её достоинство на 2002; взял другую монету в правую руку и умножил её достоинство на 2003. Результаты сначала сложил, затем перемножил и, наконец, нашел разность полученных произведения и суммы. Она оказалась чётной. Какая монета у Васи в правой руке?
 

Дама сдавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Чемодан весил больше, чем рюкзак. Саквояж и рюкзак вместе весят больше, чем две остальные вещи, а корзина и саквояж вместе весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Какая из вещей самая тяжёлая, а какая самая лёгкая?
 

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?
 

Требовалось поставить на доску несколько ферзей так, чтобы каждый бил ровно двух из остальных. Рома поставил 8 ферзей, Сёма — 9, а Тома — 10. Покажите, как они могли это сделать.
 

Сколько существует четырёхзначных чётных чисел, у которых первая цифра делится на три?
 

Дан квадрат размером 5×5. Закрасьте некоторые клетки белой краской, а остальные чёрной так, чтобы в любом квадрате 3×3 клетки оказалось ровно 8 белых клеток.
 

Петя и Вася выписывают 20-значное число, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет Петя, вторую — Вася, третью — снова Петя, и так далее. Вася хочет получить число, делящееся на 9. Может ли Петя ему помешать?
 

В одном бидоне находится 1 литр воды, а в другом — 1 литр сиропа. Разрешено переливать любую часть жидкости из одного бидона в другой. Можно ли добиться, чтобы в первом бидоне концентрация сиропа оказалась больше 50%?
 

Домашние задачи

Незнайка разрезал фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки, нарисованные справа от неё. Сколько трёхклеточных уголков могло получиться?
 

В написанном на доске примере на умножение хулиган Петя исправил две цифры. Получилось

4 · 5 · 4 · 5 · 4 = 2247.

Восстановите исходный пример.
 

У Васи есть пластмассовый угольник (без делений) с углами 30°, 60° и 90°. Ему нужно построить угол величиной 15°. Может ли он это сделать, не используя других инструментов?