МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

а) За булочками в столовой выстроилась очередь. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все ещё не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут наконец принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояли в очереди первоначально?

Предложил чёрт лодырю: «Всякий раз, как перейдёшь этот волшебный мост, твои деньги удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 40 рублей.» Трижды перешёл лодырь мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у лодыря первоначально?
 

Над цепочкой озёр летели гуси. На каждом садилась половина подлетевших к этому озеру гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озёрах. Сколько было гусей?
 

Трём братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на три бублика меньше, чем ему лет. Меньший брат был сообразительный и предложил поменять часть бубликов: «Я,— сказал он,— оставлю себе половину бубликов, а другую разделю между вами поровну; после этого Давид также оставит половину бубликов, а другую разделит поровну между мной и Расулом. Затем и Расул поделит так же.» Так они и сделали. Оказалось, что все получили поровну. Сколько лет Давиду?
 

За круглым столом сидят А, В, С, D. У каждого из них есть по несколько яблок. Сначала А дал каждому из остальных по столько яблок, сколько тот уже имел (тем самым удвоив число яблок у всех, кроме себя). После этого В сделал то же самое, и так далее до D. После этого у всех оказалось по 32 яблока. Сколько у кого было яблок в начале?
 

По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём не все они равны. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывают 0 в случае, если числа равны, и 1 в противном случае. Далее старые числа стираются. Могут ли в конце все числа оказаться нулями?
 

По кругу написаны числа: 1, 0, 0, 0, 0, 0. Разрешено одновременно увеличивать на 1 а) два; б) три любых соседних числа. Можно ли сделать все шесть чисел равными?
 

Расставьте различные натуральные числа в таблицу размером 2×3 (2 строки, 3 столбца) так, чтобы произведения в столбцах были равны, и суммы в строках тоже были равны (но суммы могут отличаться от произведений).

Домашние задачи

Однажды царь наградил крестьянина яблоком из своего сада. Пошёл крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, в каждом заборе только одни ворота, и в каждых воротах стоит сторож. Подошёл крестьянин к первому сторожу и показал ему царский указ, а сторож ему в ответ: «Иди возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что несёшь, и ещё одно». Это же ему сказали второй и третий сторож. Сколько яблок должен набрать крестьянин, чтобы после расплаты со сторожами у него осталось одно яблоко?
 

Три мальчика делили 120 фантиков. Cначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. Наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате у всех оказалось по 40 фантиков. Сколько фантиков было у каждого в начале?
 

Для поправки здоровья богатырю надо отпить из молочной реки ровно 43 литра. У богатыря есть два ведра вместимостью 24 и 11 литров соответственно и достаточно большая бочка. Сможет ли он поправить свое здоровье?