МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.
 

Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 6×6 из чисел +1, 0, –1 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим диагоналям были различны. Сможете ли Вы помочь Буратино?
 

Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?
 

В параллели 4 класса и 121 ученик. Доказать, что есть класс, в котором более 30 учеников.
 

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
 

В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
 

10 школьников на олимпиаде решили 35 задач. Среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи, и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.
 

Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда существуют два, разность или сумма которых делится на 100.
 

Домашние задачи

В классе 30 учеников. В диктанте Вова сделал 13 ошибок, а остальные ученики — меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну.
 

Докажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два числа, разность которых кратна 5.
 

Разрежьте квадрат 6×6 на 4 одинаковые части так, чтобы каждая содержала три зелёные клетки.

Дополнительные задачи

На складе имеется по 200 сапог 41-го, 42-го и 43-го размеров, причём среди этих 600 сапог 300 правых и 300 левых. Доказать, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.
 

На Земле больше шести миллиардов жителей, людей старше 150 лет не существует. Докажите, что на Земле есть два человека, родившихся одновременно с точностью до секунды.
 

Докажите, что невозможно написать бесконечную последовательность из двух букв такую, что никакое слово из шести букв не повторится хотя бы дважды.
 

В квадрате площадью S расположены 2003 фигуры, сумма площадей которых больше 2002S. Докажите, что у этих фигур есть общая внутренняя точка.
 

Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, делящееся на 2003.