МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие в зимние каникулы (январь 1994)

Задача 1. Найти все целые числа n, при которых дробь (n²-3)/(n-3) - целое число.

Задача 2. Фигурой нельзя накрыть полукруг, но двумя такими же фигурами можно накрыть круг того же радиуса. Может ли так быть?

Задача 3. Докажите, что полусумма любых двух последовательных простых нечетных чисел - составное число.

Задача 4. На плоскости дано 25 точек. Среди любых трех из них можно выбрать две, находящиеся на расстоянии менее 1 см друг от друга. Доказать, что можно найти круг радиуса 1 см, покывающий по крайней мере 13 точек.

Задача 5.
а) По ребрам проволочного куба ползают три паука и гусеница. Скорость гусеницы в 3 раза больше, чем у пауков. Могут ли пауки поймать гусеницу?
б) Та же ситуация, но пауков два и скорости их равны скорости гусеницы.

Задача 6.Летит над лесом стая сороконожек и трехголовых драконов. У них всего 26 голов и 298 ног. У каждой сороконожки ровно одна голова. Сколько ног у трехголового дракона?