МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 8 (ноябрь 1993). Круги Эйлера и др.

Задача 1. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 в биологическом. 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?

Задача 2. На полу площадью 12 кв. м лежат три ковра. Площадь одного ковра 5 кв. м, другого - 4 кв. м, третьего - 3 кв. м. Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5 кв. м. Все три ковра перекрываются на площади 0,5 кв. м.
а) Какова площадь пола, не покрытая коврами?
б) Какова площадь первого ковра?

Задача 3. Серёже в 1993 году исполнилось столько лет, какова сумма цифр года его рождения. В каком году он родился?

Задача 4. Предположим, что справедливы следующие утверждения:
а) среди людей имеющих телевизоры, есть такие, которые не являются малярами;
б) люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.
Следует ли отсюда, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?

Задача 5.
а) Можно ли покрыть шахматную доску размером 8*8 клеток доминошками 2*1 так, чтобы доминошки не перекрывались и не вылезали за пределы доски?
б) Тот же вопрос для доски 8*8 с вырезанной угловой клеткой.
в) Тот же вопрос для доски 8*8 с вырезанными левой верхней и правой верхней угловыми клетками.
г) Тот же вопрос для доски 8*8 с вырезанными левой нижней и правой верхней угловыми клетками.

Задача 6. Дома хомяка Хомы и его друга суслика расположены по одну сторону от прямолинейной реки, но дом суслика - на большем расстоянии. Хома предложил суслику соревнование: кто первым из своего дома добежит до реки и вернётся назад, тот получит стручок гороха. Суслик сказал, что это нечестно - ведь ему бежать дальше. Тогда Хома предложил каждому бежать сначала по кратчайшему пути к реке, а затем как можно быстрее возвращаться к дому другого. Будет ли теперь соревнование честным?

Указания для преподавателей

В начале занятия рекомендуется разобрать задачи 1 (возможно, частично) и 2 из прошлого занятия. Можно разобрать (частично, или дать подсказку) задачу 6.

Одна из тем сегодняшнего занятия - круги Эйлера (задачи 1, 2 и 4).

Задача 3 довольно простая.

Задача 6 - задача на повторение неравенства треугольника, но довольно сложная. Здесь есть одна тонкость - для решения этой задачи не нужно ничего отражать. Поэтому наученные отражениям дети могут зайти в тупик - помогите им оттуда выйти. Обязательно нарисуйте в этой задаче рисунок - некоторые школьники могут неправильно понять условие.

Задача 5 имеет важное стратегическое значение - на следующем занятии будут предложены несколько задач на раскраски. Первые три пункта довольно просты, что, возможно, привлечет внимание школьников к этой задаче, а вместе с тем и к основному последнему пункту.

Указания к задачам

Задача 1. Ответ: 6.

Задача 2. а) 2,5. б) 7.

Задача 3. Ответ: в 1973-м.

Задача 4. Ответ: да.

Задача 5. Ответы: а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Задача 6. ХС + С₁С = (Х₁Т + ТС) + ТС > Х₁С + ТС = Х₁С + Х₁Х, т. е. соревнование будет нечестным.