МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 5 (октябрь 1993). Переливания и игры на симметрию

Задача 1. На рисунке изображена лопатка и мусор в ней. Не меняя положение мусора переложите две спички так, чтобы мусор оказался вне лопатки.

Задача 2. Можно ли соединить между собой семь телефонов так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими?

Задача 3. Имеется кран, в котором достаточно много воды, и раковина, куда можно сливать лишнюю воду. Можно ли с помощью
а) 7-литровой банки и 11-литровой банки
б) 6-литровой банки и 9-литровой банки
набрать из крана ровно 2 литра воды?

Задача 4. Серёжа и Андрей играют в следующую игру (начинает Сережа):
а) В ряд записаны 7 минусов. За ход изменяют знак у 1-го минуса или у 2-х рядом стоящих минусов.
б) Та же игра, но в ряд записаны 8 минусов.
в) У ромашки 10 лепестков. За ход у нее отрывают один лепесток или два рядом растущих лепестка.
г) Та же игра, но у ромашки 11 лепестков.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Разберитесь в каждом из пунктов, может ли один из играющих обеспечить себе победу, и если да, то как ему следует играть?

Задача 5. Два квадрата расположены внутри полукруга так, как показано на рисунке. Докажите, что площадь большего квадрата в 4 раза превосходит площадь меньшего квадрата.

Задача 6^*. Доска размером 6*6 покрыта 18 доминошками размером 2×1 (каждая доминошка покрывает 2 клетки, доминошки не перекрываются и не вылезают за пределы доски). Докажите, что при любом таком покрытии можно разрезать доску на две части по горизонтальной или вертикальной линии, не повредив ни одной доминошки.

Указания для преподавателей

В начале рекомендуется разобрать из прошлого занятия задачу 2 и задачу 4 (кто еще не разобрал). Возможно, стоит разобрать задачу 3 (решайте сами). Также рекомендуется разобрать задачу 1, рассказав (или потребовав от школьников) решение, при котором на приготовление яйца тратися всего 15 минут (а не 23, как обычно предлагают, предварительно заготавливая в течении 7 минут песку на 4 минуты). Задачи 6 и 7 рекомендуется на этом занятии не обсуждать.

Основные темы сегодняшнего занятия: переливания и игры на симметрию. Возможен следующий порядок действий.

В середине первого часа предложите подсчитать в задаче 2 число проводов.

В конце первого часа разберите следующую задачу на переливания: Имеются две банки вместимостью 3 и 5 литров и большая бочка, доверху наполненная водой. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 литр воды? Нарисуйте на доске ромбический стол 3х5, разбитый на правильные треугольники, и покажите общий метод решения задач на переливание (метод бильярдного шара). Затем предложите порешать задачу 3 с точки зрения этой теории. Можно также предложить подумать (возможно, отдельным школьникам) над общей теоремой: если объемы двух банок взаимно просты, а объем бочки не меньше суммы объемов банок, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 и кончая объемом большей банки.

После начала второго часа желательно, чтобы дети начали играть в игры из задачи 4. Можно играть с детьми у доски. Даже самый далекий от математики школьник разберется в этой задаче, если решит ее сначала для трех, четырех, пяти, минусов. Рекомендуется полностью разобрать игру с 7 минусами. Разбор на этом занятии остальных пунктов задачи представляется нежелательным: пусть решат сами.

Задача 5 не простая. Если школьники не будут продвигаться в ее решении, предложите сделать то, что написано далее в указании к этой задаче до слов "легко понять".

Задача 6 довольно сложна. Тем, кто будет за нее браться, можно ненавязчиво немного помогать.

Указания к задачам

Задача 1. Догадайтесь сами.

Задача 2. Если такое возможно, то число проводов равно 21/2 = 10,5 .

Задача 3.
а) Минимальное число переливаний равно 14.
б) Нет, так как объемы банок не взаимно просты.

Задача 4.
а) Изменив первым ходом центральный минус на плюс, первый выигрывает, придерживаясь симметричной стратегии.
Первый выигрывает, изменив два центральных минуса на плюсы.
в),г) Не зависимо от хода первого игрока второй может разбить оставшиеся лепестки на две равные части и выиграть, пользуясь симметричной стратегией.

Задача 5. Дорисовав полукруг до окружности и нарисовав второй большой квадрат, получающийся из исходного поворотом на 90 градусов по часовой стрелке относительно центра окружности, легко понять, что все очевидно в силу симметрии.

Задача 6. Предположим противное. Имеется 5 вертикальных и 5 горизонтальных линий - всего их 10. Пусть каждую линию пересекает доминошка. Тогда каждую линию пересекает еще одна (!) доминошка (из-за четности количества клеток по любую сторону от каждой линии). Всего имеем не меньше 20 доминошек - противоречие.

Дополнительные задачи для умных школьников

Задача 7. Двое по очереди ставят слонов на клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 8. Докажите, что число

  11..11 - 22..22
  \    /   \    /
  2n раз    n раз