МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 15 (февраль 1994). Комбинаторика и др.

Задача 1. В стране Чудес три города: А, В и С. Из города А в город В идёт 6 дорог, из города В в город С идет 4 дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С?

Задача 2. Назовём число симпатичным, если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует пятизначных симпатичных чисел?

Задача 3. Пете позавчера было 10 лет, а в следующем году исполнится 13. Может ли такое быть?

Задача 4. В магазине "Всё для чая" есть 5 разных чашек, 3 разных блюдца и 4 разных чайных ложки. Сколькими способами можно купить
а) чашку с блюдцем;
б) комплект из чашки, блюдца и ложки;
в) два предмета с разными названиями;
г) сколькими способами можно разложить 10 одинаковых кусков сахара по двум разным чашкам;
д) а по трем разным чашкам?

Задача 5. Имеются две кучки конфет: в одной - 20, в другой - 21. За ход нужно съесть одну из кучек, а вторую разделить на две не обязательно равных кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 6. Можно ли выписать в строчку 5 чисел так, чтобы сумма любых трёх последовательных чисел была отрицательной, а сумма всех чисел - положительной?

Указания для преподавателей

В начале занятия рекомендуется разобрать задачу 3 (возможно, частично) из прошлого занятия. Можно разобрать задачу 4.

Одна из тем сегодняшнего занятия - комбинаторика (задачи 1, 2 и 4).

Задача 3 довольно простая.

В пунктах г) и д) задачи 4 при раскладывании сахара можно оставлять пустые чашки.

На следующем занятии будут предложены несколько задач на делимость.

Указания к задачам

Задача 1. Ответ: 24.

Задача 2. Ответ: 5⁵.

Задача 3. Ответ: Может (Петя родился 30 декабря).

Задача 4. Ответы: а) 15; б) 60; в) 47; г) 11; д) 66.

Задача 5. Выигрывает первый игрок. Ему нужно каждый раз съедать кучку из нечетного числа конфет, а оставлять кучку с одной конфетой и кучку с оставшимся нечётным числом конфет. Тогда при любом ходе 2-го игрока будут оставаться кучка с четным и кучка с нечетны числом конфет, а значит первый не сможет проиграть. Второй проиграет, когда ему останется две кучки по одной конфете в каждой.

Задача 6. Ответ: да. Пример: 1; 1; -3; 1; 1 .

Дополнительная задача для умных школьников

Задача 7. На окружности нарисованы 1994 точки. Одна из них - белая, остальные - чёрные. Каких многоугольников больше среди всех многоугольников с вершинами в этих точках: тех, среди вершин которых есть белая, или тех, все вершины которых - чёрные?