МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 7 (ноябрь 1993). Неравенство треугольника

Задача 1. Докажите, что в выпуклом четырёхугольнике сумма длин диагоналей
а) больше его полупериметра;
б) меньше его периметра.

Задача 2. Два посёлка А и В расположены
а) по разные стороны
б) по одну сторону
от дороги, которая представляет собой прямую линию. Где нужно устроить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от неё до поселков А и В была самой маленькой?

Задача 3. На сколько сумма всех чётных чисел первой сотни больше суммы остальных её чисел?

Задача 4. У старухи Шапокляк живут несколько попугаев, кошек, собак и тараканов. При этом все ее животные кроме двух - попугаи, все кроме двух - кошки, и все кроме двух - собаки. Сколько тараканов живет у старухи Шапокляк?

Задача 5. В классе 14 человек занимаются английским языком, 8 человек - французским. Трое учеников при этом изучают оба языка. Сколько учеников в классе?

Задача 6.
а) Полуостров представляет собой острый угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя по самому короткому пути?
б) А если полуостров - тупой угол?

Указания для преподавателей

О том, что делать с игровыми задачами прошлого занятия, решайте сами. Лучше всего, если Вы уже поговорили о них: тогда на этом занятии их можно вообще не вспоминать.

Основная тема сегодняшнего занятия - неравенство треугольника. Рекомендуется сначала обязательно рассказать о неравенстве треугольника, разобрать задачу 5 прошлого занятия (о домике для ослика Иа). Затем можно сказать, что в этом занятии неравенство треугольника может тоже пригодиться, и предложить школьникам начать решать задачи занятия.

Задача 1 может оказаться не очень простой из-за некоторой абстрактности и из-за некоторой технической перегруженности решения: нужно выписывать неравенства, складывать их, сокращать... Поэтому рекомендуется немного помогать школьникам. Ничего, если они все будут говорить словами. Возможно, кто-то не будет знать, что такое периметр. Лучше это сразу уточнить.

В задаче 2 лучше сразу уточнить, что остановку нужно устроить на дороге. Задача эта, безусловно, не простая. Советуйте школьникам свести пункт б) к очевидному пункту а). Скажите, что это не очень легко, но нужно догадаться. Рекомендуется разобрать эту задачу (возможно, частично, подсказав идею отражения) на втором часу занятия.

Задача 3 довольно простая, но содержит в себе важную идею разбиения на пары. Не стоит заканчивать разговор об этой задаче со школьником, решившим ее прямым вычислением. В дальнейшем идея разбиения на пары еще будет встречаться (но не очень скоро).

Задача 4 веселая и довольно простая, хотя и с подвохом (обратите на это внимание).

Задача 5 имеет важное стратегическое значение - на следующем занятии школьникам будут предложены несколько задач на круги Эйлера.

Задача 6 довольно сложна. Тем, кто будет за нее браться, можно ненавязчиво немного помогать.

Указания к задачам

Задача 1.
а) Применить неравенство треугольника к четырем треугольникам, на которые диагонали разбивают четырехугольник.
б) Для каждой диагонали рассмотреть два треугольника, на которые та разбивает четырехугольник, и применить к ним неравенство треугольника.

Задача 2.
а) Очевидно, нужно взять точку пересечения прямой АВ с дорогой.
б) Пусть В' - точка, симметричная точке В относительно дороги. Остановку нужно устроить в точке пересечения дороги с прямой, соединяющей точку А с точкой В' .

Задача 3. Ответ: на 50.

Задача 4. Первое решение: у старухи Шапокляк один попугай, одна кошка, одна собака и ни одного таракана. Подвох состоит в том, что есть второе решение: у старухи Шапокляк всего два таракана (и больше никого)...

Задача 5. Ответ: 19 учеников.

Задача 6.
а) Отразим дом лесника относительно каждой из сторон угла и соединим полученные точки отрезком. Точки пересечения этого отрезка со сторонами угла будут теми точками, в которых лесник должен выходить к берегам.
б) Нужно идти в вершину угла и обратно.

Дополнительные задачи для умных школьников

Задача 7. Пароход вниз по реке идет от А до В трое суток, а от В до А - пять суток. Сколько времени будут плыть плоты от А до В?

Задача 8. Можно ли выписать в строчку 25 чисел так, чтобы сумма любых трех соседних чисел была положительной, а сумма всех чисел - отрицательной?

Задача 9. Имеется две кучки камней - по 11 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет при правильной игре?