МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 14 (февраль 1994)

Задача 1. Дрожжевые грибки при благоприятных условиях размножаются с большой скоростью, увеличиваясь в объёме в два раза за каждую минуту. В колбу поместили один гриб, который заполнил ее за 30 минут. За сколько минут заполнят колбу помещенные в нее два гриба?

Задача 2. Числа от 1 до 10 записаны в строчку в произвольном порядке. Каждое из них сложим с номером места, на котором оно стоит. Докажите, что хотя бы две суммы оканчиваются одной и той же цифрой.

Задача 3. Сколькими способами можно:
а) сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосками одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?
б) поставить на шахматную доску белую и чёрную ладьи так, чтобы они не били друг друга?
в) поставить на шахматную доску белого и чёрного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

Задача 4. Через точку пересечения биссектрис AD и СЕ треугольника АВС проведена прямая, параллельная основанию АС и пересекающая боковые стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Докажите, что МN = АМ + СN.

Задача 5. Даны 10 натуральных чисел, не превышающих 91. Докажите, что отношение некоторых двух из этих чисел принадлежит отрезку [2/3;3/2].

Задача 6. Можно ли расположить все трёхзначные числа, не оканчивающиеся нулями, в последовательность так, чтобы последняя цифра каждого числа была равна первой цифре следующего числа за ним?