МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Сергей Александрович Дориченко
1993/1994 учебный год

Версия для печати

Занятие 4 (октябрь 1993). Чётность

Задача 1. Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

Задача 2. Можно ли разложить в
а) 3;
б) 4;
в) 98;
г) 99
корзин, расставленых по кругу, несколько арбузов так, чтобы в любых двух соседних корзинах число арбузов отличалось на единицу?

Задача 3. Нарисуйте замкнутую 6-звенную ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев. Может ли у ломаной с таким свойством быть 7 звеньев?

Задача 4. Дана квадратная таблица 4*4, в каждой клетке которой стоит "+" или "-" (см. рис.). За один ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли через несколько ходов получить таблицу из одних плюсов?

  + - - +           + + + -           - + + -
  - + + -           + + + +           + + + +
  - + + -           - - + +           + + + +
  + - - +           + + + +           - + + -

Задача 5. Как погрузить 21 бочку, из которых 7 полны кваса, 7 пусты, а 7 наполнены наполовину, на 3 машины так, чтобы на всех машинах было поровну бочек и кваса?

Задача 6. На листе бумаги написано несколько натуральных чисел (например, так: 1 2 5 6 1 4 ). Лена и Максим по очереди ставят перед каким-нибудь из этих чисел знак: "+" или "-" (если перед этим числом ещё нет знака). Когда перед каждым числом будет поставлен какой-нибудь знак, вычисляется значение полученного выражения (например: +1+2-5+6+1-4=1 ). Если полученное число чётное, то выигрывает Максим, а если нечётное, то Лена. Кто когда выигрывает?

Задача 7*. B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на две части (по 50 коров в каждой) так, что суммарный вес коров первой части равен суммарному весу коров другой части. Известно, что каждая корова весит целое число килограмм. Докажите, что все коровы весят одинаково.


Указания для преподавателей

В начале занятия можно разобрать задачи 3.1 и 3.6 прошлого занятия (в первой просто подсчитать, что раньше в школу прийдет Вася, в последней автобус едет влево, так как на рисунке не видно дверей - значит они с другой стороны).

Основная тема сегодняшнего занятия - четность. Нужно выяснить у доски (с участием детей), ответ на следующий

Вопрос: Какой (четной или нечетной) будет сумма
а) двух четных чисел;
б) двух нечетных чисел;
в) четного и нечетного числа;
г) нескольких четных чисел;
д) нескольких нечетных чисел?

Аналогичные вопросы можно задавать про произведение двух чисел.

Постарайтесь объяснить школьникам, что любое четное число представимо в виде 2K, а любое нечетное — в виде 2K + 1.

После этого нарисуйте на доске замкнутую несамопересекающуюся линию. Скажите детям, что она ограничивает некоторую деревню. Затем отметьте какую-нибудь точку и спросите, находится ли она в деревне или нет. (Линию и точку нужно рисовать так, чтобы ответ на этот вопрос был неочевиден). Решение: провести из точки луч. Если он пересечет линию нечетное число раз, то точка находится в деревне. Когда кто-нибудь из детей до этого додумается (быть может, с вашей помощью), похвалите всех за находчивость и на этой радостной ноте раздайте задачи занятия.

Указания к задачам

Задача 1. Ставим одновременно двое часов. Когда пройдет 7 минут, переворачиваем те и другие часы одновременно. Когда пройдет 4 минуты (оставшиеся на 11-минутных часах), переворачиваем 7-минутные часы. Песок в 7-минутных часах высыпется, когда пройдет 4 минуты. Осталось заметить, что 7+4+4=15.

Задача 2. Пример для 4-ех и для 98-ми корзин очевиден. Ни в 3, ни в 99 корзин арбузы разложить нельзя, так как четность их числа в корзинах чередуется.

Задача 3. Рисунок придумайте сами (впрочем, он не очевиден). Нужной ломаной из 7 звеньев не существует: ведь звенья разбиваются на пары пересекающихся.

У сильных школьников можно спросить, для каких n такая ломаная существует.

Задача 4.
а) Можно.
б) Нельзя: четность общего числа минусов не меняется.
в) Нельзя, так как в любом квадрате 2х2 четность числа минусов не меняется.

Рекомендуется разобрать эту задачу (возможно, частично) на 2-ом часу занятия.

Задача 5. В 1-ой и 2-ой машинах 2 полных, 2 пустых и 3 полных наполовину бочек.

Задача 6. Лена выигрывает тогда и только тогда, когда сумма чисел нечетна.

Задача 7. Трудная задача. Заметим, что условие не нарушится, если отнять от веса каждой коровы какое-нибудь число или разделить вес каждой коровы на какое-нибудь число. Получив таким образом корову с нулевым весом, видим, что все коровы весят четное число килограмм. Сокращая на 2, попадаем в аналогичную ситуацию. Но сокращать на 2 до бесконечности можно только 0.

Дополнительные задачи для умных школьников

Задача 8. Докажите, что число

  11...11 - 22...22
  \     /   \     /
  2n раз     n раз
- полный квадрат.

Задача 9. Улитка ползет из точки А, поворачивая на 90 градусов в какую-нибудь сторону каждые 15 минут. Докажите, что она может вернуться в точку А только через целое число часов. (Скорость улитки считается постоянной).

Задача 10. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела не менее трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?


Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS