МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 4 (октябрь 1993). Чётность

Задача 1. Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

Задача 2. Можно ли разложить в
а) 3;
б) 4;
в) 98;
г) 99
корзин, расставленых по кругу, несколько арбузов так, чтобы в любых двух соседних корзинах число арбузов отличалось на единицу?

Задача 3. Нарисуйте замкнутую 6-звенную ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев. Может ли у ломаной с таким свойством быть 7 звеньев?

Задача 4. Дана квадратная таблица 4*4, в каждой клетке которой стоит "+" или "-" (см. рис.). За один ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли через несколько ходов получить таблицу из одних плюсов?

  + - - +           + + + -           - + + -
  - + + -           + + + +           + + + +
  - + + -           - - + +           + + + +
  + - - +           + + + +           - + + -

Задача 5. Как погрузить 21 бочку, из которых 7 полны кваса, 7 пусты, а 7 наполнены наполовину, на 3 машины так, чтобы на всех машинах было поровну бочек и кваса?

Задача 6. На листе бумаги написано несколько натуральных чисел (например, так: 1 2 5 6 1 4 ). Лена и Максим по очереди ставят перед каким-нибудь из этих чисел знак: "+" или "-" (если перед этим числом ещё нет знака). Когда перед каждым числом будет поставлен какой-нибудь знак, вычисляется значение полученного выражения (например: +1+2-5+6+1-4=1 ). Если полученное число чётное, то выигрывает Максим, а если нечётное, то Лена. Кто когда выигрывает?

Задача 7^*. B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на две части (по 50 коров в каждой) так, что суммарный вес коров первой части равен суммарному весу коров другой части. Известно, что каждая корова весит целое число килограмм. Докажите, что все коровы весят одинаково.

Указания для преподавателей

В начале занятия можно разобрать задачи 3.1 и 3.6 прошлого занятия (в первой просто подсчитать, что раньше в школу прийдет Вася, в последней автобус едет влево, так как на рисунке не видно дверей - значит они с другой стороны).

Основная тема сегодняшнего занятия - четность. Нужно выяснить у доски (с участием детей), ответ на следующий

Вопрос: Какой (четной или нечетной) будет сумма
а) двух четных чисел;
б) двух нечетных чисел;
в) четного и нечетного числа;
г) нескольких четных чисел;
д) нескольких нечетных чисел?

Аналогичные вопросы можно задавать про произведение двух чисел.

Постарайтесь объяснить школьникам, что любое четное число представимо в виде 2K, а любое нечетное — в виде 2K + 1.

После этого нарисуйте на доске замкнутую несамопересекающуюся линию. Скажите детям, что она ограничивает некоторую деревню. Затем отметьте какую-нибудь точку и спросите, находится ли она в деревне или нет. (Линию и точку нужно рисовать так, чтобы ответ на этот вопрос был неочевиден). Решение: провести из точки луч. Если он пересечет линию нечетное число раз, то точка находится в деревне. Когда кто-нибудь из детей до этого додумается (быть может, с вашей помощью), похвалите всех за находчивость и на этой радостной ноте раздайте задачи занятия.

Указания к задачам

Задача 1. Ставим одновременно двое часов. Когда пройдет 7 минут, переворачиваем те и другие часы одновременно. Когда пройдет 4 минуты (оставшиеся на 11-минутных часах), переворачиваем 7-минутные часы. Песок в 7-минутных часах высыпется, когда пройдет 4 минуты. Осталось заметить, что 7+4+4=15.

Задача 2. Пример для 4-ех и для 98-ми корзин очевиден. Ни в 3, ни в 99 корзин арбузы разложить нельзя, так как четность их числа в корзинах чередуется.

Задача 3. Рисунок придумайте сами (впрочем, он не очевиден). Нужной ломаной из 7 звеньев не существует: ведь звенья разбиваются на пары пересекающихся.

У сильных школьников можно спросить, для каких n такая ломаная существует.

Задача 4.
а) Можно.
б) Нельзя: четность общего числа минусов не меняется.
в) Нельзя, так как в любом квадрате 2х2 четность числа минусов не меняется.

Рекомендуется разобрать эту задачу (возможно, частично) на 2-ом часу занятия.

Задача 5. В 1-ой и 2-ой машинах 2 полных, 2 пустых и 3 полных наполовину бочек.

Задача 6. Лена выигрывает тогда и только тогда, когда сумма чисел нечетна.

Задача 7. Трудная задача. Заметим, что условие не нарушится, если отнять от веса каждой коровы какое-нибудь число или разделить вес каждой коровы на какое-нибудь число. Получив таким образом корову с нулевым весом, видим, что все коровы весят четное число килограмм. Сокращая на 2, попадаем в аналогичную ситуацию. Но сокращать на 2 до бесконечности можно только 0.

Дополнительные задачи для умных школьников

Задача 8. Докажите, что число

  11...11 - 22...22
  \     /   \     /
  2n раз     n раз

Задача 9. Улитка ползет из точки А, поворачивая на 90 градусов в какую-нибудь сторону каждые 15 минут. Докажите, что она может вернуться в точку А только через целое число часов. (Скорость улитки считается постоянной).

Задача 10. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела не менее трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?