МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Популярные лекции по математике
2007-2008 учебный год

Лекция 1 (175) 6.10.2007

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Словарь «Математика. Информатика»

Издательство «Росмэн», которому миллионы читателей благодарны за переводы книг о Гарри Поттере, издало том «Математика. Информатика» серии «Современная иллюстрированная энциклопедия». Книга состоит примерно из 2000 статей.

Многие из них великолепно проиллюстрированы М.Ю. Пановым и доступны широкому кругу читателей.

У книги была предшественница: в 2005 году «Росмэн» выпустило том «Небесные тела. Числа и фигуры» серии «Новая школьная энциклопедия», тоже прекрасно иллюстрированный.

Лекция 2 (176) 13.10.2007

Андрей Николаевич КВАШЕНКО,

учитель биологии гимназии № 1543.

Естественнонаучное драконоведение

Лекция посвящена теоретическому моделированию биосистем (с акцентом на возникновении системных связей в процессе эволюции) на примере эволюции драконов. За отправную точку принята информация, содержащаяся в традиционных мифах и легендах. О драконах было рассказано много неожиданного.

Лекция была полезна и интересна сама по себе, однако на самом деле она была первой лекцией годового курса биологии Андрея Николаевича Квашенко на Малом мехмате. (В прошлом учебном году он уже прочитал цикл из трёх лекций, от слушателей лекций этого года знакомства с теми лекциями не требуется.) Все лекции курса, кроме первой, начинаются в 15 часов, заканчиваются — в 16 часов 35 минут.

Основная идея курса в том, что не следует считать знакомые нам решения важных задач ни самыми лучшими, ни единственно возможными. Программа курса:

  1. Вводная лекция. Превращение дракона в объект естественнонаучного исследования (основные проблемы и методы работы)
  2. Естественная история драконов
    • Решение проблем, связанных с полётом современных животных. Драконы и летуны. Гипотеза о возникновении драконов
    • Эмбриогенез драконов. Протодраконы — морфофизиология и поведение. Принцип сквозной адаптивности. Экологические ниши
    • Что надо протодракону, чтобы выжить (адаптивная система признаков №1). Шансы появления огнедыхания. Анализ проблем, связанных с огнедыханием. Канализация филогенетического пути развития
    • Шансы перехода протодраконов к полёту и адаптивная система №2. Прыгающая зажигалка и ароморфоз — отбор на полёт. Преадаптации к полёту. Реконструкция анатомии и физиологии архаичных драконов
    • В 2007 году Бутырский суд Москвы и Мосгорсуд признали москвичку Пронину Юлию Дмитриевну саму себе мамой. Так что самозарождение россиянок возможно даже в наши дни. А драконов? С кем размножался первый дракон (кошмар Дженкинса)? Основные понятия генетики. Решение задач по генетике. Генетика популяций
    • Сколько нужно рожать? (К- и R-стратегии). Широкие и узкие специалисты. Забота о потомстве. Обречённость драконов на К-стратегию
  3. Неестественная история драконов (проблемы и методы межпредметных исследований)
    • Почему драконы были одиночками. Плюсы и минусы объединения. Что такое социальная структура в самом общем смысле. Социальность у К- и R-стратегов
    • Первый заход на мудрость драконов. Как можно научиться чему-нибудь новому? Разные подходы к изучению поведения живых существ. Физиология высшей нервной деятельности
    • Второй заход на мудрость драконов. Этология и зоопсихология. Когда важнее уметь соображать, а когда — нет. Поведенческие традиции — основа рождения культуры
  4. Противоестественная история драконов (игровое поле — за гуманитарными науками)
    • Адаптивная система признаков драконов №3. Конкуренция социальных существ. Язык, отвлечённое мышление, ритуал. Проблема растроения личности. Шизоидные хищники-одиночки
    • Развитие драконических культур. Вертикальные и горизонтальные социальные связи. Юные бунтари и старые ретрограды. Срок жизни и суперконсерватизм
    • Пара слов о магии вообще и о магии драконов — в частности. Мы все — маги? В чём разница между магией и технологией? Картина мира не терпит проколов. Закрытые и открытые социумы (проблема ксенофобии)
    • Проблемы размножения у драконов. Сколько рожаем, когда взрослеем? Большая материнская семья. Как обеспечить секс? Виагра по драконовски
    • А вот теперь — мифы. Сокровища драконов. Дракон и принцесса. Драконоборцы. Причины и последствия вымирания драконов

Есть видеозапись.

Лекция 3 (177) 20.10.2007

Юрий Николаевич ТОРХОВ,

главный редактор;

Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ,

автор книг «Геометрия Лобачевского», «Задачи по планиметрии», «Многочлены», «Наглядная топология», «Точки Брокара и изогональное сопряжение», «Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии», «Элементы теории гомологий», соавтор (с А.Б. Сосинским) книги «Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия» и соавтор (с В.М. Тихомировым) книги «Геометрия»;

Сергей Борисович ГАШКОВ,

автор «Современной элементарной алгебры в задачах и упражнениях» и «Систем счисления и их применений».

Книги издательства МЦНМО

Были представлены книги издательства МЦНМО, которое в основном издаёт математическую литературу, в том числе много книг и брошюр для школьников и журнал «Математическое просвещение». Изданы

  • книги с условиями и решениями олимпиадных задач:
    • «Всероссийские олимпиады школьников по математике (1993–2006)»,
    • «Московские математические олимпиады (1983-2005)»,
    • «Задачи Московских городских олимпиад по физике (1986–2005)»,
    • «Московские олимпиады по информатике»,
    • «Задачи лингвистических олимпиад (1965–1975)»,
    • В.В.Ерёмин. «Теоретическая и математическая химия для школьников. Подготовка к химическим олимпиадам»,
    • «Геометрические олимпиады имени И.Ф. Шарыгина»,
    • А.Ю.Зубов и другие. «Олимпиады по криптографии и математике»,
    • Н.В. Горбачев. «Олимпиадные задачи по математике»;
  • книги о московских регатах и олимпиадах:
    • «Московские математические регаты»,
    • «Турниры имени М.В. Ломоносова»,
    • И.В. Ященко. «Приглашение на математический праздник»;
  • книги, по которым уже несколько десятилетий занимаются ученики Всероссийской заочной многопредметной школы :
    • Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер. «Прямые и кривые»,
    • И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, Э. Э. Шноль. «Функции и графики (основные приемы)»,
    • И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, А. А. Кириллов. «Метод координат»;
  • книги по разным областям математики, написанные на доступным для школьников уровне, в том числе:
    • Н.Я. Виленкин. «Рассказы о множествах»,
    • Р. Курант, Г. Роббинс. «Что такое математика?»,
    • Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. «Комбинаторика»,
    • В.В. Прасолов. «Задачи по планиметрии»,
    • А.Х. Шень. «Вероятность: примеры и задачи»,
    • В.В. Прасолов, В. М. Тихомиров. «Геометрия»,
    • Я.П. Понарин. «Элементарная геометрия»;

    книги для подготовки к вступительным экзаменам:

    • Ткачук В. В. «Математика — абитуриенту»,
    • А.И. Козко, В.Г. Чирский. «Задачи с параметром и другие сложные задачи».

Купить эти и многие другие книги можно в магазине МЦНМО (Москва, Большой Власьевский переулок, дом 11) или заказать на сайте этого магазина.

В.В. Прасолов рассказал решения нескольких геометрических задач.

  1. Для любой хорды AB окружности с центром O и для любой окружности, касающейся отрезка AB в точке L, а упомянутой окружности в точке K, прямая KL проходит через середину C дуги AB. Доказательство основано на том, что центр Q второй окружности точки лежит на прямой KO, а отрезки QL и CO перпендикулярны отрезку AB и поэтому параллельны один другому. Поскольку треугольники KLQ и KCO равнобедренные и величины углов KQL и KOC равны, то треугольники KLQ и KCO гомотетичны с центром гомотетии K, что и требовалось доказать.
  2. Для любых чевиан AA', BB" и СС' треугольника ABC, пересекающихся в точке M, сумма частных MA' : AA', MB' : BB' и MC' : CC' равна 1. Равно 1 и произведение отношений AB' : B'C, CA' : A'B и BC' : C'A (это утверждение называют теоремой Чевы; легко проверить, что верно и обратное: любые три чевианы, удовлетворяющие равенству Чевы, пересекаются в одной точке).

    Доказательство первого равенства следует из того, что отношения MA' : AA', MB' : BB' и MC' : CC' равны соответственно частным от деления площадей треугольников MBC, MAC и MAB на площадь треугольника ABC.

    Равенство Чевы следует из того, что отношения AB' : B'C, CA' : A'B и BC' : C'A равны соответственно отношениям площадей треугольников AMB и CMB, CMA и BMA, BMC и AMC.

  3. Теорема Эрдёша–Морделла гласит: удвоенная сумма расстояний от любой точки M, расположенной внутри треугольника ABC, до сторон этого треугольника не превосходит суммы расстояний от точки M до вершин треугольника. Доказательство изложено в статье «Используя площадь» пятого номера журнала «Квант» за 1986 год. Оно начинается с того, что площадь четырёхугольника ABMC не превосходит половины произведения его диагоналей.

    Площади треугольников ABM и ACM равны соответственно половинам произведений cz и by, где использованы естественные обозначения a, b и c для длин сторон BC, CA и AB соответственно, x, y и z — расстояния от точки M до сторон BC, CA и AB соответственно. Следовательно,

    cz + by ≤ AM · a.

    Это неравенство мы сейчас чуть-чуть изменим: при замене точки M на точку, симметричную ей относительно биссектрисы угла BAC, получаем неравенство

    cy + bz ≤ AM · a,

    откуда

    (c / a) y + (b / a) z ≤ AM.

    Аналогичные неравенства имеют вид

    (a / b) z + (c / b) x ≤ BM

    и

    (b / c) x + (c / b) y ≤ CM.

    Почленное сложение трёх последних неравенств и тот хорошо известный факт, что сумма любого положительного числа и его обратного не меньше числа 2, завершают доказательство.

Лекция 4 (178) 27.10.2007

Александр Васильевич СПИВАК,

преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Сумма двух многочленов

В 1981 году В. Стотерс сформулировал и доказал, что если сумма двух взаимно простых многочленов равна третьему, то степень любого из этих трёх многочленов меньше количества корней произведения этих многочленов. В 1983 году теорему Стотерса переоткрыл Р. Мейсон. Ученик выпускного класса Ноа Снайдер в 1998 году придумал более красивое доказательство. Великая теорема Ферма для многочленов является мгновенным следствием теоремы Стотерса-Мейсона-Снайдера. Другое следствие — доказанная в 1965 году Дэвенпортом следующая теорема: если f и g — многочлены, для которых многочлен h = f3 – g2 не равен тождественно нулю, то степени многочленов f и g не превосходят величин 2deg h – 2 и 3deg h – 3 соответственно.

Доказательство использует свойства производных (теорему Лейбница о производной произведения). Хотя необходимые определения и доказательства были даны на лекции, предварительное знакомство с понятием производной значительно облегчало понимание.

Прочитать доказательство можно в конспекте лекции, в книге С. Ленга «Математические беседы для студентов» или в статье В. Прасолова «Диофантовы уравнения для многочленов» журнала «Математическое просвещение» за 1997 год.

Лекция 5 (179) 3.11.2007

Владимир Михайлович ТИХОМИРОВ,

профессор кафедры ОПУ мехмата МГУ, автор книги «Рассказы о максимумах и минимумах».

Что такое геометрия?

Изучая математику, вы столкнётесь с аналитической геометрией, аффинной геометрией, евклидовой геометрией, геометрией Лобачевского, проективной геометрией, геометрией Римана и многими другими геометриями. Лектор рассказал о том, что общего в этих ветвях математики, что естественно объединяет слово «геометрия». Довольно подробно он рассказал об учебнике геометрии, созданном во время реформы преподавания математики, проведённой в шестидесятых годах XX века А.Н. Колмогоровым. Хотя сейчас почти все достижения той реформы утрачены и неизвестно когда будут вновь обретены российской системой образования, напоминать о проблемах, которые тогда стояли перед школой, необходимо, поскольку после всякого периода упадка неизбежно встаёт задача восстановления утраченного и поиска ресурсов для развития.

Лекция 6 (180) 10.11.2007

Владимир Юрьевич ПРОТАСОВ,

доктор физико-математических наук, преподаватель кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ, автор задач, предлагавшихся на Всероссийской, Соросовской, Московской олимпиадах, Турнире городов, геометрической олимпиаде имени И.Ф. Шарыгина, а также книг и статей по элементарной математике, один из организаторов геометрической олимпиады имени И.Ф. Шарыгина и cеминара по геометрии в Независимом математическом университете, автор брошюры «Максимумы и минимумы в геометрии» (Библиотека «Математическое просвещение», издательство МЦНМО, 2005 год) и статьи «Вокруг теоремы Фейербаха» («Квант», №9, 1992 год), соавтор (с И.Ф. Шарыгиным) статьи «Нужна ли школе XXI века геометрия?» («Очерки по истории образования в России», издательство МГУ, 2004 год), соавтор (с В.М. Тихомировым) статьи «Геометрические шедевры И.Ф. Шарыгина» («Квант», №1, 2006 год), соавтор (с Я. Бринкхаусом) статьи «Теория экстремума в простых примерах» («Математическое просвещение», выпуск 9, 2004 год), соавтор (с А.А. Заславским и Д.И. Шарыгиным) книги «Геометрические олимпиады имени И.Ф. Шарыгина» (издательство МЦНМО, 2007 год).

Два велосипедиста и вишнёвая косточка

Р.Э. Распэ (Англия, 1786 год)Статья с таким названием будет опубликована в журнале «Квант».

Однажды на охоте барон Мюнхгаузен выстрелил в оленя вишнёвой косточкой, и через некоторое время на голове оленя выросло роскошное вишнёвое дерево. Лектор показал, высоким штилем говоря, как из косточки вырастает дерево, как из простой задачки получается серия красивых геометрических теорем. Роль вишнёвой косточки сыграла следующая задача.

Если боковая сторона BC трапеции ABCD перпендикулярна основаниям, то середина стороны AD равноудалена от вершин B и C. Докажите это.

Лекция 7 (181) 17.11.2007

Александр Васильевич СПИВАК,

учитель школ 1018 и 1543.

Явная формула для чисел Каталана

В 1838 году опубликовано письмо Ламэ Лиувиллю, в котором намечено довольно простое доказательство формулы для n-го числа Каталана. Суть в том, что если Pn — количество способов разрезать выпуклый n-угольник диагоналями, не пересекающимися внутри этого n-угольника на треугольники, то 2(n - 3)Pn = n(Pn-1 - 2Pn), поскольку для любого из Pn разрезаний при «раздувании» любого из двух концов любой из n - 3 участвующих в разрезании диагоналей получаем разрезание (n + 1)-угольника, в котором выделена одна (полученная раздуванием вершины) сторона, причём выделенной может быть любая из сторон (n + 1)-угольника, кроме той, что соединяет (n + 1)-ю вершину с первой, а для (любой из n возможных) фиксированной выделенной стороне существует ровно Pn-1 - 2Pn способов получить такую конструкцию из n-угольника.

Подробно содержание лекции изложено в статье «Разрезания на треугольники» второго номера «Кванта» 2009 года.

Лекция 8 (182) 8.12.2007

Николай Николаевич ОСИПОВ,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика» политехнического института Сибирского федерального университета и кафедры алгебры Красноярского государственного педагогического университета.

Площади прямоугольных треугольников, или Метод бесконечного спуска

Является ли данное число площадью прямоугольного треугольника с рациональными сторонами? Ответить на этот вопрос весьма и весьма трудно: например, для числа 1 впервые это сделал Пьер Ферма, сведший задачу к неразрешимости в натуральных числах уравнения x4 – y4 = z2 и доказавший неразрешимость методом бесконечного спуска. Нетрудно доказать, что число s является площадью прямоугольного треугольника с рациональными сторонами тогда и только тогда, когда уравнение sy2 = x3 - x имеет решение в рациональных числах, в котором y не равно нулю. Таким образом, тема лекции связана с трудными вопросами арифметики.

Перед лекцией полезно ознакомиться с брошюрой, написанной по следам предыдущей лекцией на эту тему: В.В. Острик, М.А. Цфасман, «Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые», выпуск 8 серии «Библиотека "Математическое просвещение"». Отличие предстоящей лекции от предыдущей в том, что было уделено большое внимание тем случаям, которые можно разобрать элементарными методами, так что многие утверждения, сформулированные в брошюре без доказательства, были доказаны доступным для школьника способом.

Лекция 9 (183) 15.12.2007

Андрей Валентинович ЗЯЗИН,

кандидат физико-математических наук, член оргкомитета межрегиональной олимпиады школьников по математике и криптографии.

Избранные задачи олимпиад по криптографии

Олимпиады по математике и криптографии проходят ежегодно с 1991 года. В ноябре 2007 года состоялась очередная, уже семнадцатая олимпиада, находящаяся на стыке математики и информатики. Для понимания предлагаемых задач вполне достаточно школьных знаний: все новые понятия разъяснены в тексте условий.

С задачами прошедших олимпиад можно познакомиться в сборнике, изданном в прошлом году в издательстве МЦНМО. Кроме того, все материалы размещаются на сайте www.cryptolymp.ru.

Был дан исторический очерк развития криптографии, проиллюстрированный задачами олимпиад.

Примеры задач

  • В компьютерной сети используются пароли, состоящие из цифр. Чтобы избежать хищения паролей, на диске их хранят в зашифрованном виде. При необходимости использования производится однозначное расшифрование соответствующего пароля. Зашифрование паролей происходило посимвольно одним и тем же способом. Первая цифра оставлялась без изменения, а результат шифрования каждой следующей цифры зависел только от неё и от предыдущей цифры.
    Известен список зашифрованных паролей: 4350299891410, 540462295825, 4373382021476, 4356244895826, 428540012393, 4363481142576, 4356244895408. Два пароля 4391383375128, 4343503132936 есть в зашифрованном виде в этом списке. Можно ли восстановить какие-либо другие пароли? Если да, восстановите их.
  • Клара решила подарить Карлу на Новый год один коралл. Сама Клара праздник будет встречать в другом городе, а ей очень хочется, чтобы Карл раньше времени не вытащил подарок из коробки. Поэтому Клара решила положить коробку с подарком в сейф, запирающийся на кодовый замок. Комбинацию из ста цифр, отпирающую замок, она выбрала так, что на месте с номером k находится последняя цифра (N + k - 100)-го числа Фибоначчи. (Первые два члена последовательности Фибоначчи равны 1, а каждый следующий равен сумме двух предыдущих.) Для подбора подходящего числа N Клара написала программу для компьютера, вычисляющую последовательно числа Фибоначчи, и выяснила, что за одну секунду на компьютере Карла удается вычислить 500 новых чисел. Ровно за 5 суток до Нового года Клара передала Карлу эту программу, сообщила правило построения кодовой комбинации и значение N = 216000000. Может ли Карл, вообще не используя компьютер, открыть сейф до наступления Нового года?

Лекция 10 (184) 22.12.2007

Александр Васильевич СПИВАК,

учитель школ 1018 и 1543.

Проективная плоскость

При центральной проекции некоторые точки не имеют образа. Как с этим бороться? Можно ли добиться того, что любая центральная проекция будет взаимно-однозначным отображением плоскости, пополненной некоторыми новыми (так называемыми бесконечно удалёнными) точками на такую же плоскость? Можно! Возникающий объект называют проективной плоскостью. Проще всего представлять её себе как множество всех прямых, проходящих через начало координат трёхмерного пространства.

Модели проективной плоскости: сфера с отождествлёнными диаметрально противоположными точками, полусфера с отождествлёнными диаметрально противоположными точками границы, в круге с отождествлёнными диаметрально противоположными точками границы, полусфера, к которой приклеили ленту Мёбиуса.

Однородные координаты. Уравнения кривых в однородных координатах.

Конечные проективные плоскости над полями из 2, 3, 4 элементов.

Отношение максимально возможного количества рёбер графа с n вершинами, в котором нет ни одного четырёхугольника, к произведению числа n и квадратного корня из n, стремится к 1/2 при стремлении n к бесконечности.

Советую посмотреть видео:
1. «Расстановки кубиков»;
2. «Графы без треугольников»;
3. «Вершина наибольшей степени»;
4. «Прибавление двух вершин к графу без треугольников»;
5. «Лемма о невозрастании доли и индукционный переход»;
6. «Количество треугольников»;
7. «Максимальное независимое подмножество в графе без треугольников»;
8. «Графы без четырёхугольников»;
9. «Плоскость Фано и проективная плоскость над полем вычетов по модулю 3»;
10. «Тысяча карточек и ящики»;
11. «На любых четырёх вершинах не более четырёх рёбер»;
12. «Графы без пятиугольников»;
13. «Теорема о количестве рёбер»;
14. «Конечные поля».

Лекция 11 (185) 16.02.2008

Вадим Владимирович ЕРЁМИН,

профессор химического факультета МГУ, доктор физико-математических наук, автор ряда школьных учебников и учебников по физической химии для студентов, а также книги «Теоретическая и математическая химия для школьников», изданной МЦНМО, руководитель команды России на Международных химических олимпиадах.

Математика в химии

Теоретическая химия основана на физических теориях и активно использует математические методы описания химических веществ и реакций. Был рассмотрен ряд химических задач, решение которых требует привлечения математических методов. Показано, что соображения химического смысла, например целочисленность числа атомов или положительные значения концентраций веществ, накладывают серьёзные ограничения на алгебраические и дифференциальные уравнения. Рассмотрены некоторые приёмы устного счёта и оценок, используемые в теоретической химии. Основная идея лекции: современная химия немыслима без математики. Полный текст лекции — можно прочитать здесь, расширенный — здесь.

Вышла брошюра: В.В. ЕРЁМИН, «Математика в химии», выпуск 37 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 12 (186) 15.03.2008

Юрий Михайлович БУРМАН,

преподаватель Независимого Московского Университета и факультета математики Высшей Школы Экономики, бывший учитель математики школ номер 2, 57 и 1543, автор брошюры «О проективных пространствах и движениях, или геометрия без рисунков» (издательство МЦНМО, 2001 год), статьи «Многочлен Татта и модель случайных кластеров» («Математическое просвещение», 2007 год), соавтор (с А.В. Спиваком) статьи «Автостоянки, перестановки и деревья» в четвёртом номере «Кванта» за 2004 год.

Уравнения третьей степени

Сколько решений может иметь кубическое уравнение? (Ответ: от одного до трёх.)

Существует ли формула, позволяющая найти корни многочлена третьей степени? (Ответ: да, и не одна.)

Почему этой формулой почти невозможно пользоваться? (Ответ на этот вопрос привёл в XVI веке к созданию комплексных чисел.)

Как всё-таки решать кубические уравнения?

Подготовиться к пониманию лекции Вам помогут статьи девятого номера «Кванта» за 1976 год, особенно статья И.Н. Клумовой и Д.Б. Фукса «Формула существует, но...»

Лекция 13 (187) 22.03.2008

Александр Ханиевич ШЕНЬ,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН, учитель школы номер 57, автор многих брошюр и книг для школьников и студентов.

Космография

Отчего бывает зима и лето? Почему Луна видна не полностью? Что такое тропики и полярный круг? Когда-то этому учили в гимназиях в курсе космографии. Сейчас это мало кто помнит — значит, надо вспоминать!

    Суточное вращение Земли

  1. В полночь астроном навёл свой телескоп в точности на определённую звезду, и закрепил его. Звезда, двигаясь по небу, ушла из поля зрения телескопа. Пройдёт ли она через поле зрения телескопа в следующую ночь?
  2. После возвращения из путешествия барон Мюнхгаузен рассказал, что в Южном полушарии, где он побывал, Солнце движется по небу не как у нас, с востока на запад, а в обратном направлении, так что сразу видно, что попал в другое полушарие. Прав ли он?
  3. Известно, что в данной точке Земли некоторые звёзды и даже созвездия не видны никогда: например, Южный Крест в Москве не увидишь. Бывают ли звёзды, которые можно увидеть в Петербурге, но нельзя увидеть в Москве? Которые можно увидеть в Москве, но нельзя — в Петербурге?
  4. Если долго смотреть на небо в районе Полярной звезды, то видно, что звёзды движутся по кругу (а Полярная звезда близка к центру этого круга). Движутся они по часовой стрелке или против? Тот же вопрос для противоположной точки небесной сферы (где находится созвездие Южного креста).

    Годичное обращение Земли вокруг Солнца

  5. Находясь в определённой местности, мы наблюдаем день за днём восход и заход данной звезды (пересечение линии горизонта). Меняются ли точки восхода и захода? Время восхода и захода? В каких случаях точки восхода и захода — диаметрально противоположные точки горизонта?
  6. Во время солнечного затмения диск Солнца загораживает Луна, небо становится тёмным и появляются звёзды. Можно ли при этом увидеть звёзды, которые обычным образом (по ночам) в этой местности не видны?
  7. Всегда ли Солнце восходит точно на востоке и заходит точно на западе?
  8. В каких точках Земли Солнце бывает хотя бы иногда видно в зените? В каких точках Земли Солнце ежедневно проходит через зенит?
  9. В каких местах Земли Солнце не заходит несколько дней подряд (полярный день) и не восходит несколько дней подряд (полярная ночь)? Сколько длится полярный день на полюсе?
  10. Солнечные часы представляют собой палку, воткнутую в землю: по направлению тени от палки определяют время дня. Почему её делают наклонной? В каком направлении и на какой угол её надо наклонять?

    Луна и её фазы

  11. Почему Луна видна не полностью (в виде серпа)? Может ли полная Луна быть видна на небе днём?
  12. Бывает ли в Москве полная Луна видна в зените?
  13. Луна и Солнце вращаются вокруг Земли (если можно так выразиться) в одной плоскости (точнее, в близких плоскостях). Какими (широко известными) наблюдениями можно подтвердить это?
  14. Бывает ли в Москве (не обязательно полная) Луна видна в зените?
  15. В разные моменты Луна видна на фоне разных созвездий. Может ли она оказаться недалеко от Полярной звезды?
  16. Есть такое правило: растущий месяц (серп Луны) обращён круглой стороной вправо (как в букве Р), а стареющий — влево (как в букве С). Можно ли применять это правило в Южном полушарии?
  17. Луна видна в виде полукруга, при этом граница этого полукруга вертикальна (не наклонена ни влево, ни вправо). В какое время суток такое возможно?

Вышла брошюра: «Космография».

Лекция 14 (188) 29.03.2008

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Неоткрытие Эйлера

Пьер Ферма сформулировал ряд гипотез о представимости чисел в виде суммы двух квадратов, суммы квадрата и удвоенного (утроенного, упятерённого) квадрата. Он даже утверждал, что доказал представимость каждого простого числа, дающего при делении на 4 остаток 1, в виде суммы двух квадратов. Ферма дал набросок такого доказательства, который, однако, является скорее декларацией о намерениях, чем точным текстом. Леонард Эйлер сумел превратить декларацию Ферма в доказательство (создав тем самым у историков науки уверенность, что Ферма не ошибался, заявляя о своём умении доказывать эту теорему методом бесконечного спуска).

Доказать критерий представимости простого числа в виде суммы квадрата и упятерённого квадрата Эйлер не смог. В 2006 году Йинг Жанг опубликовал доказательство этого критерия, основанное на идеях Эйлера. Таким образом, история арифметики могла сложиться чуточку иначе, если бы Эйлер потратил больше сил на обдумывание своего доказательства критерия Ферма-Эйлера представимости простого числа в виде суммы двух квадратов.

Лекция 15 (189) 5.04.2008

Дмитрий Викторович ШВЕЦОВ,

студент третьего курса математического факультета Московского государственного педагогического университета, преподаватель Малого мехмата и школы № 179.

Радикальная ось

Со времён Евклида известна следующая теорема. Если точка P не лежит на данной окружности, а прямая проходит через точку P и пересекает окружность в точках A и B, то произведение длин отрезков PA и PB определяется окружностью и точкой P, но не зависит от прямой.

При помощи этой теоремы можно доказать знаменитую теорему Эйлера о том, что квадрат расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей равен разности между квадратом радиуса описанной окружности и удвоенным произведением радиусов вписанной и описанной окружностей.

Другое следствие — теорема о бабочке: если через середину C хорды AB некоторой окружности проведены хорды KL и MN, причём отрезки KN и ML пересекают AB в точках Q и P соответственно, то PC = QC.

Радикальная ось двух окружностей, центры которых не совпадают, состоит из точек, для каждой из которых её степени относительно этих окружностей равны. (Степень точки относительно окружности — разность квадрата расстояния от этой точки до центра окружности и квадрата радиуса окружности.)

Лекция 16 (190) 5.04.2008

Вадим Владимирович ЕРЁМИН,

профессор химического факультета МГУ, доктор физико-математических наук, автор ряда школьных учебников и учебников по физической химии для студентов, а также книги «Теоретическая и математическая химия для школьников», изданной МЦНМО, руководитель команды России на Международных химических олимпиадах.

Математика в химии (производные и графы)

Это вторая часть лекции, первая часть которой была прочитана 16.02.2008. Лекция будет прочитана в аудитории 14-08 с 18 часов 40 минут до 20 часов 40 минут. Первая часть лекции очень понравилась слушателям, и они попросили о продолжении. Вторую часть можно слушать независимо от первой.

Эта часть лекции, в свою очередь, состоит из двух частей. В первой показывается, как понятие производной используется для описания химических реакций, и устанавливаются связи между химическими и дифференциальными уравнениями. Во второй части демонстрируется применение теории графов в органической химии для подсчёта изомеров и в медицинской химии для констуирования лекарственных средств. Полный текст лекции — можно прочитать здесь, расширенный — здесь.

Вышла брошюра: В.В. ЕРЁМИН, «Математика в химии», выпуск 37 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 17 (191) 12.04.2008

Константин Юрьевич БОГДАНОВ,

кандидат физико-математических наук, доктор биологических наук, автор учебника по физике и книг «Физик в гостях у биолога» (выпуск 49 Библиотечки «Квант»), «Прогулки с физикой» (выпуск 98), заведующий кафедрой физики лицея №1586.

Когда размер имеет значение: от спорта до нанотехнологий

  • Почему борцы взвешиваются перед выступлениями, а прыгуны — нет?
  • Почему щука всегда догонит карася?
  • Почему хомяк всё время ест?
  • Может ли температура плавления вещества зависеть от размеров тела?
  • Почему цвет и прочность материала меняются с изменением размеров тела?

Советуем почитать следующие сайты:

Лекция 18 (192) 19.04.2008

Дмитрий Викторович ШВЕЦОВ,

студент третьего курса математического факультета Московского государственного педагогического университета, преподаватель Малого мехмата и школы № 179.

Радикальная ось

Окончание лекции, первая часть которой была прочитана 5 апреля 2008 года. Знание содержания первой части полезно, но не обязательно. Будут разобраны следующие задачи.

  1. Две окружности пересекаются в точках M и N. Докажите, что если вершины A и C прямоугольника ABCD лежат на одной из этих окружностей, а вершины B и D – на другой, то точка пересечения его диагоналей лежит на прямой MN.
  2. AA' и BB' — высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Отрезок A'B' пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.
  3. Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.
  4. На сторонах треугольника АВС построены (во внешнюю сторону) равнобедренные треугольники ВСD, САЕ и АВF. Докажите, что прямые, проходящие через вершины А, В и С перпендикулярно соответственно прямым EF, FD и DE, проходят через одну точку.
  5. Окружность с центром О проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает отрезки АВ и ВС в точках K и N соответственно. Окружности, описанные вокруг треугольников АВС и КВN, пересекаются в точках В и М. Докажите, что угол ОМВ прямой.
  6. Четырёхугольник АВСD вписана в окружность. Прямые АВ и DC пересекаются в точке Р, а прямые AD и ВС в точке Q. Из точки Q проведены две касательные QE и QF к окружности. Докажите, что точки P, E и F лежат на одной прямой.
  7. ВВ' и СС' – высоты неравнобедренного треугольника АВС; М - середина отрезка ВС, Н - ортоцетр треугольника АВС, а D – точка пересечения прямых ВС и В'С'. Докажите, что прямая DH перпендикулярна прямой АМ.
  8. Теорема Брианшона: диагонали описанного около окружности шестиугольника пересекаются в одной точке.

Советуем прочитать статью, написанную по мотивам лекции.

Лекция 19 (193) 26.04.2008

Алексей Владимирович САВВАТЕЕВ,

кандидат экономических наук, старший научный сотрудник Центрального экономико-математического института, доцент Российской экономической школы.

Занимательная теория игр, или Шерлок Холмс и Мориарти

Теория игр — наука довольно молодая, и, как подобает персоне юного возраста, весёлая. С её помощью можно изучать многие серьёзные экономические задачи.

В современной математической экономике центральным понятием является равновесие Нэша. Речь идёт не об играх типа шахмат или шашек, где игроки ходят по очереди, видя предыдущие ходы друг друга, а о значительно более жизненной ситуации, когда игроки делают свои ходы одновременно. Если оппонент будет точно знать нашу стратегию, то во многих случаях он легко выиграет. Поэтому решение ищем в «случайных ходах». Большой вклад в эту теорию внёс выдающийся математик и экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике Джон Нэш (про него даже сняли нашумевший фильм). Он родился 13 июня 1928 года, работает в университете Принстона (США).

Мы рассмотрим «игру в прятки»: Шерлок Холмс прячется от Мориарти в одном из нескольких известных им обоим мест. Для Холмса не имеет значения, где прятаться, а с точки зрения профессора, чем дальше расположено место от Лондона, тем дольше туда ехать, тем сложнее отлучиться от его шайки. Применив концепцию равновесия по Нэшу, мы предскажем разумное поведение игроков.

Лекция 20 (194) 3.05.2008

Иван Александрович ДОРОФЕЕВ,

выпускник мехмата МГУ, преподаватель Малого мехмата.

Бесконечно повторяющиеся радикалы Рамануджана

Великий индийский математик Рамануджан придумал много интересных тождеств. Красивые доказательства некоторых из них были рассказаны на лекции.

Лекция 21 (195) 10.05.2008

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

DVD-диск журнала «Квант»

Был продемонстрирован DVD-диск, содержащий материалы всех номеров «Кванта» с 1970 по 2006 годы, рассказано об истории журнала и о наиболее интересных его рубриках.


Написать нам
Телеграм-канал
Чат поддержки Малого мехмата в Телеграме
Механико-математический факультет МГУ
Видео (канал А.В. Спивака на YouTube.com)
Серия книг по материалам лекций

© Малый мехмат МГУ, 2002–2024

Написать нам

Чат поддержки Малого мехмата в Телеграме