МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (44) 6.10.2001

Юрий Петрович СОЛОВЬЁВ,

профессор мехмата МГУ.

Неравенства

Было рассказано о неравенстве о среднем арифметическом и среднем геометрическом и его обобщении — неравенстве Йенсена. Неравенство о средних утверждает: среднее арифметическое любых неотрицательных вещественных чисел не меньше их среднего геометрического.

Неравенство Иоганна Людвига Иенсена (1859–1925) гласит: если функция выпукла вниз, то её значение в точке, являющейся средним арифметическим нескольких вещественных чисел, не превосходит среднего арифметического значений этой функции в этих точках.

Вышла брошюра: Ю.П. Соловьёв, «Неравенства», выпуск 30 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 2 (45) 13.10.2001

Анатолий Георгиевич КУШНИРЕНКО,

доцент мехмата МГУ, заведующий отделом НИИ системных исследований РАН.

Многогранники Ньютона и число корней системы алгебраических уравнений

Решая системы алгебраических уравнений с двумя неизвестными, Ньютон использовал многоугольник, который легко построить, зная только то, какие одночлены входят в уравнение с ненулевыми коэффициентами. Позже этот многоугольник был назван многоугольником Ньютона, а его обобщение на случай трёх или более переменных — многогранником Ньютона. Многие свойства системы алгебраические уравнений со многими неизвестными можно определить, зная не сами уравнения, а только их многогранники. Использование многогранников Ньютона даёт пример плодотворной связи геометрии, алгебры и анализа. Об этих связях и шла речь.

Лекция 3 (46) 20.10.2001

Александр Кириллович КОВАЛЬДЖИ,

заместитель директора лицея «Вторая школа», соавтор книги «Как решать нестандартные задачи».

Ошибки в доказательствах

В доказательствах нередко встречается фраза «Очевидно, что ...». Однако видимость бывает обманчивой. Есть ошибки, которые делают почти все начинающие. Например, многим очевидно, что мы видим неполную Луну потому, что Земля бросает на неё тень. Так ли это?

Некоторые ошибки носят психологический характер, многие вызваны недостатками образования, а есть и такие, с которых начинались новые направления исследований. Процесс поиска ошибок бывает не только трудной, но и увлекательной задачей.

Лекция 4 (47) 27.10.2001

Ирина Михайловна ПАРАМОНОВА,

кандидат физико-математических наук, преподаватель Независимого Московского Университета.

Симметрия в математике

Что общего между уравнением x⁴ + y⁴ + z⁴ = 1 и равносторонним треугольником? Какая математическая задача лежит в основе создания наиболее тонкого современного средства медицинской диагностики — компьютерной томографии? Ответ на эти и многие другие вопросы заключён в понятии симметрии. Было рассказано о том, что понимают под симметрией в современной математике. В частности, что такое группа преобразований и абстрактная группа, что такое инварианты группы, откуда берутся эти понятия и зачем они нужны.

Эта лекция — повторение и развитие лекции, прочитанной И.М. Парамоновой 12.02.2000.

Вышла брошюра: И.М. Парамонова, «Симметрия в математике», выпуск 7 серии «Библиотека "Математическое просвещение"» (есть и djvu-файл).

Лекция 5 (48) 3.11.2001

Сергей Петрович КОНОВАЛОВ,

доцент МФТИ, член редколлегии журнала «Квант».

Арифметика и шифры

Математику и искусство тайнописи объединяет не только то, что шифрование информации издавна производится заменой букв цифрами (само слово «шифр» происходит от французского chiffre — цифра.)

В современных способах шифрования используются и свойства чисел. Например, компьютер легко перемножит два даже очень больших (сотни знаков) натуральных числа. А вот разложить на простые множители полученное произведение за «разумное» время ему не удаётся: существующие методы решения этой задачи связаны с перебором огромного числа вариантов. На этом и на теореме Эйлера (обобщении малой теоремы Ферма) основана система шифрования RSA, о которой было рассказано на лекции.

Познакомиться с этой системой можно, например, по статье «Малая теорема Ферма» В. Сендерова и А. Спивака, опубликованной в первом, третьем и четвёртом номерах «Кванта» за 2000 год.

Лекция 6 (49) 10.11.2001

Сергей Александрович ДОРИЧЕНКО,

преподаватель 57 школы и НМУ, соавтор книги «Этюды о шифрах».

Алгебраические кривые на плоскости

Знаменитая теорема Паскаля гласит: если шестиугольник ABCDEF вписан в окружность, то точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой. Утверждение теоремы останется верным, если заменить окружность на любую кривую второй степени (эллипс, параболу, гиперболу или пару прямых).

Теорема была доказана алгебраически, но почти без вычислений — очень просто и красиво выведена из теоремы Безу, которая утверждает, что любые две алгебраические кривые на плоскости степеней m и n соответственно пересекаются либо по целой кривой, либо по конечному числу точек, которое не превосходит mn (более точная формулировка была дана на лекции). Доказательство теоремы Безу в общем случае не просто, но здесь достаточно одного частного случая этой теоремы, который и был доказан.

С помощью теоремы Безу можно доказать и некоторые другие планиметрические теоремы (например, теорему Дезарга и теорему о бабочке).

Теорема Безу позволяет ответить и на вопросы следующего типа: можно ли задать на плоскости Oxy системой алгебраических уравнений одну ветвь гиперболы? (Алгебраическое уравнение — это выражение вида P(x,y) = 0, где P(x,y) — многочлен от двух переменных, то есть сумма слагаемых вида ax^ky^l, где a — любое число, k и l — неотрицательные целые числа.)

Лекция 7 (50) 17.11.2001

Владимир Игоревич АРНОЛЬД,

академик РАН.

Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов

Комплексные числа доставляют алгебраическое описание движений евклидовой плоскости. Движения трёхмерного евклидова пространства не всегда коммутируют, и их описание приводит к некоммутативной алгебре. Одному вращению трёхмерного пространства соответствуют два кватерниона, и их различие связано с топологией трёхмерного проективного пространства. Физики назвали это топологическое явление спином. «Вращения» электронов отличаются от вращений твёрдых тел именно различием спинов, играющих решающую роль при описании электронных оболочек атомов.

Комплексной версией тетраэдра, по мнению лектора, является октаэдр; а гипотеза, что кватернионная его версия — икосаэдр, не доказана. Комплексная и кватернионная версия проективной геометрии приводят к исследованию преобразований проективной плоскости, переводящих проективные прямые в проективные прямые. В комплексном случае такие гладкие преобразования сводятся к комплексным проективным преобразованиям (быть может, при помощи комплексного сопряжения). В кватернионном случае ситуация сложнее, так как кватернионное сопряжение меняет порядок сомножителей и является не автоморфизмом, а антиавтоморфизмом алгебры кватернионов. Вероятно, непрерывных преобразований в обоих случаях столько же, сколько гладких, но это не доказано.

Геометрия кватернионных преобразований приводит и к своеобразному аналогу стереографической проекции, доставляющем многомерный аналог той параметризации окружности тангенсом половинного угла, которая сводит тригонометрические интегралы к интегралам от рациональных функций, доставляя в то же время древнюю формулу для «пифагоровых» троек вроде 3² + 4² = 5². С топологической точки зрения эта же конструкция определяет спиноры, накрывающие вращения пятимерного пространства (подобно тому, как спины делают это с вращениями трёхмерного). В высших размерностях аналогичная конструкция доставляет серии простых алгебр Ли C_n, так что спиноры получаются лишь из-за совпадения C₂ с B₂ (кватернионная унитарность редуцируется к ортогональности).

Издательство МЦНМО выпустило брошюру с изложением материала этой лекции.

Лекция 8 (51) 24.11.2001

Александр Рафаилович ЗИЛЬБЕРМАН,

учитель физики лицея «Вторая школа», член редколлегии журнала «Квант» (ведущий раздела физики «Задачника "Кванта"»), составитель всех прошедших шести физических соросовских олимпиад, многолетний тренер команд СССР (ныне России) к Международным физическим олимпиадам.

Волны. Звук

Разговор шёл о звуковых волнах: что это такое, как волны себя ведут, как их излучать и принимать, как человек воспринимает звук и что физики говорят о музыке, когда их об этом спрашивают. Кроме того, шла речь о том, что теряется при цифровом кодировании звуков, что подразумевают под качеством звучания. (Могут ли слушать высококачественную музыку не очень богатые люди?)

Лекция 9 (52) 1.12.2001

Владимир Георгиевич СУРДИН,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ГАИШ МГУ.

Приливные силы на Земле и в космосе

Среди четырех фундаментальных сил природы — гравитационной, электромагнитной, сильной и слабой ядерных,— этой силы нет. Тем не менее, вызванные приливной силой эффекты влияют на движение планет, звёзд и галактик, расположение созвездий, на погоду, морскую и речную навигацию, на рост растений и эволюцию биосферы. Даже идея создания машины времени, которую можно было бы осуществить, используя чёрные дыры, наталкивается на почти непреодолимое препятствие — приливные силы. Впрочем, поняв их особенности, вы, возможно, сумеете преодолеть и это!

Вышла брошюра: В.Г. Сурдин, «Пятая сила», выпуск 17 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Есть видеозапись: «Движение небесных тел: гравитация и приливы».

Лекция 10 (53) 8.12.2001

Валерий Борисович АЛЕКСЕЕВ,

заведующий кафедрой математической кибернетики факультета ВМК МГУ, профессор.

Арифметические алгоритмы и оценки их сложности

Важной составной частью многих алгоритмов являются действия над числами. Например, арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень), нахождение делителей и разложение на множители, нахождение наибольшего общего делителя нескольких чисел и так далее.

Для всех этих операций есть алгоритмы, которые изучают в школе. Но в стороне остается вопрос о том, нет ли более быстрых алгоритмов. Было рассказано, как построить сумматор из простых логических элементов («дизъюнкция», «конъюнкция», «отрицание»), как перемножать числа быстрее, чем «в столбик», об оценках сложности алгоритма Евклида и задачи возведения в степень.

Лекция 11 (54) 15.12.2001

Аскольд Георгиевич ХОВАНСКИЙ,

доктор физико-математических наук, профессор Московского Независимого Университета, главный научный сотрудник Института системного анализа РАН.

Симметрические многочлены. Уравнения третьей и четвертой степеней

Все вы знаете, как решать квадратные уравнения. Многие слышали, что не существует явной формулы, использующей арифметические операции и операции извлечения корней, которая бы давала решение общего уравнения пятой (и тем более любой более высокой) степени.

Однако для каждого многочлена можно вычислить любой симметрический многочлен от его корней. Было объяснено, что это такое, как это сделать и как можно использовать симметрические многочлены для нахождения явных формул корней уравнения третьей или четвёртой степени (формул Кардано и Феррари).

Лекция 12 (55) 22.12.2001

Александр Владимирович ЖУКОВ,

ведущий рубрики «"Квант" для младших школьников» журнала «Квант».

Число π

Краткая «биография» числа π: Архимед, Гюйгенс, Грегори, Леонард Эйлер и другие.

История вычисления числа π. Современные алгоритмы (Питер и Джонатан Борвейны).

Всегда ли π = 3,14...? Что такое π в геометрии Минковского?

Нерешённые проблемы, связанные с числом π: одинаково ли часто встречаются разные цифры в записи числа π?

Вышла брошюра: А.В. Жуков, «О числе π», выпуск 18 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 13 (56) 16.02.2002

Юлий Менделевич БРУК,

старший научный сотрудник отделения теоретической физики Физического института имени П.Н. Лебедева РАН, доцент МФТИ, один из создателей Всероссийской олимпиады школьников и журнала «Квант».

Как физики делают оценки?

Были затронуты следующие вопросы:

1. Всё ли можно измерить или вычислить?
2. Зачем нужны оценки?
3. Как оценить то, что нельзя измерить?
4. Метод размерностей. Системы единиц.
5. Подобие физических процессов и явлений.

Изложение было построено на конкретных примерах из физики и астрофизики. Например, почему горы на Земле не слишком высокие, какая температура в центре Солнца, какое максимальное давление можно создать в лаборатории, с какими скоростями движутся электроны в металле, могут ли существовать кристаллические звёзды, чему равна скорость звука внутри нейтронных звёзд, чем похожа капля воды на атомное ядро.

Лекция 14 (57) 2.03.2002

Семеон Антонович БОГАТЫЙ,

доктор физико-математических наук, доцент кафедры общей топологии и геометрии мехмата МГУ.

Равногранные тетраэдры

Пространственным аналогом треугольника является тетраэдр (треугольная пирамида). Многие теоремы геометрии треугольника или их аналоги справедливы и в геометрии тетраэдра: вокруг всякого тетраэдра можно описать единственную сферу; во всякий тетраэдр можно вписать единственную сферу; все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке (центре тяжести) и делятся в ней в отношении 3 : 1, считая от вершины, через эту же точку проходят три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер, и делятся в ней пополам. Некоторые теоремы о треугольниках ложны для общих тетраэдров: например, высоты тетраэдра не всегда пересекаются в одной точке.

Однако имеются достаточно широкие классы тетраэдров (два самых важных класса — равногранные и ортоцентрические), которые могут быть определены посредством справедливости в них аналогов некоторых плоских теорем или теорем, имеющих сугубо пространственный характер. Были рассмотрены равногранные тетраэдры, которые могут быть определены любым из более чем 20 равносильных условий, из которых ниже приведены 15 наиболее просто формулируемых:

• Противоположные рёбра равны.
• Все грани равны между собой.
• Площади всех граней равны.
• Все высоты равны.
• Сумма плоских углов в каждой вершине равна 180°.
• Все четыре трехгранных угла тетраэдра равны между собой.
• Все четыре трехгранных угла тетраэдра имеют одинаковую телесную меру.
• Существует такой остроугольный треугольник, что если в нём провести средние линии и «перегнуть» три треугольника, примыкающих к вершинам, то получим данный тетраэдр.
• Противоположные двугранные углы равны.
• Вписанная сфера касается каждой грани в центре окружности, описанной вокруг треугольника этой грани.
• Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников граней, равны.
• Совпадают какие-нибудь две точки из следующих: барицентр (центр тяжести); центр вписанной сферы; центр описанной сферы; точка Ферма-Торричели.
• Если через каждое ребро тетраэдра проведём плоскость параллельно противоположному ребру, то получим прямоугольный параллелепипед.
• Радиусы вписанной сферы и высоты тетраэдра связаны одним из следующих равенств: 16r = h₁ + h₂ + h₃ + h₄; 4r = (h₁h₂h₃h₄)^1/4.
• В каждой грани центр окружности, описанной вокруг грани, лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр грани с проекцией на эту грань противоположной вершины, и делит этот отрезок пополам.

Лекция 15 (58) 16.03.2002

Александр Олегович ИВАНОВ,

Алексей Августинович ТУЖИЛИН,

профессора кафедры дифференциальной геометрии и приложений мехмата МГУ, соавторы книг «Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей», «Минимальные сети. Проблема Штейнера и её обобщения», «Разветвлённые решения одномерных вариационных задач», «Разветвлённые геодезические. Геометрическая теория локально минимальных сетей».

Проблема Штейнера и её обобщения

Проблема Штейнера возникла из рассмотрения следующей задачи: построить кратчайшую сеть дорог, соединяющих заданные города (точки плоскости). Если ограничиться рассмотрением дорог, которые начинаются и заканчиваются в городах, то при небольшом количестве городов решение можно найти при помощи полного перебора на компьютере. Однако если допустить развилки — дополнительные пункты, в которых могут встречаться сразу несколько дорог,— то задача становится сложной: количество возможных конфигураций растёт очень быстро с ростом числа городов, и в практически значимых ситуациях современные компьютеры бессильны построить решение за разумное время.

Идеи, встречающиеся при исследовании проблемы Штейнера, можно применить и в других задачах: например, при проектировании микросхем или в теории эволюции живых существ (при построении так называемых филогенетических деревьев). Были сформулированы некоторые нерешённые задачи, для понимания условий которых вполне достаточно знания школьного курса геометрии.

Лекция 16 (59) 23.03.2002

Любовь Михайловна ЛУЖИНА,

научный сотрудник института НИИ механики МГУ;

Владимир Леонидович НАТЯГАНОВ,

доцент кафедры газовой и волновой динамики мехмата МГУ;

Елена Вячеславовна ШИВРИНСКАЯ,

научный сотрудник экспертно-аналитической службы ректората МГУ.

Архитектура, живопись и математика

«Наука и искусство так же тесно связаны между собой, как сердце и лёгкое ...» — размышлял граф Лев Николаевич Толстой.

Были рассмотрены связи между математикой и двумя наиболее наглядными видами искусства — архитектурой и живописью. Основное внимание уделено отношениям «золотого сечения» и другим пропорциям, возникающим в известных задачах древности.

Особый упор был сделан на анализ архитектурных (церковь Покрова Богородицы на Нерли, храм Василия Блаженного в Москве) и живописных («Троица» Андрея Рублева и евангельская серия Поленова) шедевров русских мастеров, а также С. Дали и М. Эшера, до конца своих дней проявлявшего большой интерес к достижениям математики и первым перешедшего от «евклидовых» равноповторяющихся к «неевклидовым» равноизменяющимся орнаментам. Были упомянуты и фрактальные структуры Мандельброта.

Литература: Волошинов А.В., Математика и искусство. - М.: Просвещение, 2000; Азевич А.И., Двадцать уроков гармонии. - М.: Школа-Пресс, 1998; Уоллэйс Р., Мир Леонардо. - М.: Терра, 1997; Дали С., 50 магических секретов мастерства. - М.: Эксмо-Пресс, 2001; Рыбаков Б.А., Из истории культуры древней Руси. - М.: Из-во МГУ, 1984; Фоменко А.Т., Наглядная геометрия и топология. - М.: Из-тво МГУ, 1998; Кроновер Р.М., Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: Постмаркет, 2000.

Лекция 17 (60) 30.03.2002

Александр Вячеславович ХАЧАТУРЯН,

учитель математики гимназии №1543.

Геометрия Галилея

Планиметрия — наука о свойствах фигур плоскости, инвариантных относительно движений (другими словами, перемещений, изометрий) плоскости. Фигуры, которые можно совместить движениями, геометрия считает конгруэнтными (одинаковыми) и не различает. Всем известны движения евклидовой планиметрии: сдвиг (параллельный перенос), поворот, скользящая симметрия. Если изменить рассматриваемую группу движений, например добавить к перечисленным выше преобразования подобия, то изменится и геометрия. В определённом смысле любая группа преобразований порождает свою геометрию. (Эту концепцию принято приписывать Феликсу Клейну.)

На лекции было рассказано о геометрии, которую порождают преобразования инерциальных систем отсчета, знакомые из школьного курса физики. Такую геометрию можно назвать геометрией Галилея. В чём-то она отличается от евклидовой, а в чём-то похожа, причём сходство выглядит слегка карикатурным.

Вышла брошюра: А.В. Хачатурян, «Геометрия Галилея», выпуск 32 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 18 (61) 6.04.2002

Игорь Николаевич СЕРГЕЕВ,

доктор физико-математических наук, доцент мехмата МГУ, автор книг «Математика. 1000 вопросов и ответов», «Примени математику», «Зарубежные математические олимпиады», соросовский учитель школы №54.

Яркие задачи вступительных экзаменов

За последние 20 лет задачи вступительных экзаменов по математике в МГУ претерпели значительные изменения. Лектор считал, что они усложнились, стали разнообразнее, но всё-таки остались задачами по математике. Среди них лектор попытался выделить наиболее яркие и красивые, запоминающиеся и поучительные.

Что это за задачи? Есть ли в них какие-то идеи? Можно ли подготовиться к вступительным экзаменам? На эти и другие вопросы были даны ответы — разумеется, на основе субъективных впечатлений, экзаменационного и жизненного опыта автора.

Лекция 19 (62) 13.04.2002

Алексей Геннадьевич МЯКИШЕВ,

учитель геометрии химического лицея №1303 и лицея №1511 при МИФИ, автор статей «О некоторых преобразованиях, связанных с треугольником», «О дополнительной кубике Дарбу», «О некоторых свойствах точки Лемуана» (журнал «Математическое образование» 1999–2001), «Some Properties of the Lemoine Point» («Forum Geometricorum», 2001).

Барицентрические координаты и геометрия треугольника

Были затронуты следующие вопросы:

1. Теорема Чевы. Случай внешней точки и понятие проективной плоскости. Теорема Чевы в форме синусов. Изогональное и изотомическое сопряжение. Некоторые замечательные точки треугольника.
2. Система материальных точек и её центр масс. Основные свойства. Случай нулевой суммы масс и проективная плоскость. Барицентрические координаты относительно треугольника. Координаты некоторых замечательных точек. Некоторые замечательные прямые.
3. Изотомическое и изогональное сопряжения в барицентрических координатах. Изоциркулярное преобразование — «среднее геометрическое» между изогональным и изотомическим преобразованиями.

Вышла брошюра: А.Г. Мякишев, «Элементы геометрии треугольника», выпуск 19 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 20 (63) 20.04.2002

Юрий Михайлович БУРМАН,

кандидат физико-математических наук, преподаватель Независимого Московского Университета, в прошлом — учитель математики школ №№2, 57 и 1543.

О деревьях и автомобильных стоянках

Автомобильная стоянка — это ряд из n мест, занумерованных числами от 1 до n; въехав на стоянку, автомобиль может двигаться только вперед. При въезде на стоянку скопилась очередь из n машин. У каждой машины есть «любимое место». Вначале машина подъезжает к любимому месту. Если оно свободно, то машина там и стоит; если занято — едет вперед до ближайшего свободного места. Возможна ситуация, когда не всем удастся встать на стоянку: очередная машина обнаружит своё любимое место занятым, а свободных мест впереди уже не останется. Задача о количестве последовательностей любимых мест, для которых конфликт не возникает, связана с замечательным разделом математики — комбинаторикой деревьев.

С содержанием лекции можно познакомиться по статье Ю.М. Бурмана и А.В. Спивака «Автостоянки, перестановки и деревья» в четвёртом номере журнала «Квант» за 2004 год.

Есть видеозапись:
1. «Бесконфликтные очереди»;
2. «Количество бесконфликтных очередей, или Кольцевая автостоянка»;
3. «Перестановки»;
4. «Количество инверсий в перестановке. Производящая функция»;
5. «Числа Каталана и бесконфликтные очереди»;
6. «Дерево Каталана»;
7. «Монотонные деревья и перестановки»;
8. «Код Прюфера»;
9. «Деревья и бесконфликтные очереди».

Лекция 21 (64) 27.03.2002

Валерий Анатольевич СЕНДЕРОВ,

многолетний участник проведения российских и московских математических олимпиад, соавтор многих статей журнала «Квант» (в частности, «Многочлены деления круга», «Гауссовы суммы», «Малая теорема Ферма», «Ловушка для треугольника», «Уравнения Пелля»).

Суммы квадратов и целые гауссовы числа

Какие натуральные числа представимы в виде суммы двух квадратов? Ответ на этот вопрос проще всего получить с помощью целых гауссовых чисел.

Может ли число x² + y² делиться на 3, если ни x, ни y не делятся на 3? А если 3 заменить на 87? Как решить в целых числах уравнение x² + 4 = y³? Целые гауссовы числа помогают быстро справиться с этими и многими другими задачами.

С содержанием лекции можно познакомиться по статье В.А. Сендерова и А.В. Спивака «Суммы квадратов и целые гауссовы числа» в третьем номере «Кванта» 1999 года.