МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (316) 21.09.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, МЦНМО и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Поля алгебраических чисел. Автоморфизмы

В начале XIX века француз Эварист Галуа (1811—1832) понял, как сопоставить алгебраическому уравнению некоторую группу перестановок. Поля алгебраических чисел и группы (группы перестановок, группы самосовмещений геометрической фигуры) возникают в самых разных задачах математики и физики. Было объяснено, что такое автоморфизмы поля алгебраических чисел, и показано, как их можно использовать для решения доступных и интересных школьникам задач.

Лекция 2 (317) 28.09.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, МЦНМО и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Разбиения чисел на слагаемые

Количество разбиений данного натурального числа на попарно различные слагаемые равно количеству разбиений на нечётные слагаемые. Количество разбиений на чётное количество различных слагаемых либо вовсе не отличается от количества разбиений на нечётное количество различных слагаемых, либо отличается ровно на единицу. Количество разбиений на различные слагаемые, наибольшее из которых чётно, либо вовсе не отличается от количества разбиений на различные слагаемые, наибольшее из которых нечётно, либо отличается ровно на единицу. Такого рода теоремы впервые обнаружил Леонард Эйлер.

Лекция 3 (318) 5.10.2013

Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ,

автор книг «Задачи по планиметрии», «Задачи по арифметике, алгебре и анализу».

Сопряжённые числа, длины биссектрис, многочлены Чебышёва и ещё пара сюжетов

Лекция состояла из нескольких отдельных сюжетов: сопряжённые числа и уравнение Пелля; теорема Сильвестра о том, что если на плоскости дано конечное множество точек, не лежащее ни на какой прямой, то среди этих точек можно найти хотя бы две такие, что на проведённой через них прямой нет больше ни одной точки рассматриваемого множества.

Было доказано, что если площадь любого треугольника с вершинами в точках некоторого конечного множества не больше S, то все это множество можно покрыть треугольником площади 4S. А если длины всех биссектрис треугольника не меньше l (или, соответственно, не больше l), то площадь этого треугольника не меньше (соответственно, не больше) площади равностороннего треугольника, длины биссектрис которого равны l.

Наконец, было дано определение многочленов Чебышёва, выведена рекуррентная формула и доказано, что именно многочлены Чебышёва дают ответ в задаче о поиске наименее уклоняющегося от нуля на данном отрезке многочлена данной степени и с данным старшим коэффициентом.

Есть видеозаписи:
«101 число от 1 до 200»;
«Теорема Сильвестра»;
«Площади треугольников»;
«Длины биссектрис и площади треугольников»;
«Многочлены Чебышёва».

Лекция 4 (319) 12.10.2013

Дмитрий Владимирович ГЕОГИЕВСКИЙ,

заместитель декана механико-математического факультета МГУ, профессор кафедры механики композитов.

Математика в Московском университете

В рамках «Фестиваля науки» Дмитрий Владимирович Георгиевский выступил перед школьниками и их родителями.

Лекция 5 (320) 19.10.2013

Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,

сотрудник кафедры математической статистики и случайных процессов мехмата МГУ, доктор физико-математических наук, автор брошюры «Хроматические числа» и обзора «Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств» (Успехи математических наук, том 56, номер 1, страницы 107-146).

Разбиения фигур и тел на части меньшего диаметра

Рассмотрим ограниченную фигуру на плоскости. Диаметр фигуры — это максимальное расстояние между парами точек, принадлежащих ей. (Точнее, точная верхняя грань таких расстояний.) В частности, для круга такое понятие диаметра совпадает с общеизвестным. В 1933 году польский математик К. Борсук доказал, что любую фигуру на плоскости можно так разрезать на три «дольки», чтобы диаметр каждой дольки оказался меньше диаметра самой фигуры.

В первой части лекции по индукции доказано, что количество диаметров любого конечного множества точек плоскости не превосходит количества рассматриваемых точек.

Затем (тоже по индукции) при помощи этого утверждения доказано, что любое состоящее более чем из одного элемента конечное множество точек можно разбить на три подмножества меньших диаметров.

Каждую фигуру диаметра 1 можно поместить в квадрат со стороной 1. Впрочем, квадрат со стороной 1 нельзя разрезать на три части, диаметры которых меньше 1. Без доказательства сформулировано утверждение о том, что любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник, расстояния между противоположными сторонами которого равны 1. Такой шестиугольник легко разрезать на три части, диаметры которых меньше 1.

Задачей о разрезании тел (шаров, многогранников и тому подобного) на дольки меньшего диаметра естественно заниматься и в пространстве. Более того, можно рассматривать её в пространстве произвольной размерности. Впервые её в общем виде сформулировал Борсук, который поставил знаменитый вопрос: «Верно ли, что всякое ограниченное n-мерное тело может быть разбито на n + 1 часть меньшего диаметра?» Задача проста по формулировке, но исчерпывающего ответа на вопрос Борсука до сих пор нет, хотя он является одним из самых популярных в комбинаторной геометрии.

Такая лекция уже была прочитана в 2004 году. Но появилось довольно много интересных новых результатов!

Есть видеозапись:
1. Диаметров не больше, чем точек.
2. Конечное множество разбиваемо.
3. Покрышки.
4. Многомерные пространства.
5. Конечное множество точек плоскости можно разбить на три части меньших диаметров.
6. Диаметров у любого конечного множества точек плоскости не больше, чем точек.
7. Покрытие любой ограниченной плоской фигуры правильным шестиугольником, расстояния между параллельными сторонами которого равно диаметру фигуры.

Лекция 6 (321) 26.10.2013

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, МЦНМО и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Максимумы и минимумы

Выяснили, как можно искать наибольшие и наименьшие значения функций. Ввели понятие производной и вычислили производные многочленов и некоторых других функций.

Лекция 7 (322) 2.11.2013

Иван Владимирович АРЖАНЦЕВ,

доктор физико-математических наук, профессор механико-математического факультета МГУ и Независимого Московского университета.

Базисы Грёбнера

Об алгоритмических методах решения систем полиномиальных уравнений. Известная теорема Абеля утверждает, что корни типичного многочлена от одной переменной степени пять или выше не могут быть выражены в радикалах через коэффициенты многочлена. Тем не менее можно алгоритмически выяснить, имеет ли данная система уравнений от любого числа неизвестных комплексное решение и конечно ли число таких решений. В процессе обсуждения алгоритмов познакомились с такими понятиями абстрактной алгебры, как идеал в кольце многочленов, его радикал и базис Грёбнера.

Лекция 8 (323) 9.11.2013

Анна Владимировна ДЫБО,

тюрколог, член-корреспондент РАН, доктор филологических наук.

Родственные связи языков России

Можете посмотреть слайды лекции. Полезно почитать:«Языки народов России»; учебник «Сравнительно-историческое языкознание» С.А. Бурлак и С.А. Старостина и сайт «Лингвистика для школьников».

Есть видеозапись: «Родственные связи языков России».

Лекция 9 (324) 16.11.2013

Илья Павлович ВАЙЦМАН,

программист.

Надёжное хранение информации

Как надёжно и дёшево хранить большие объёмы информации? Эта практическая задача очень важна. Способы её решения были обсуждены на лекции.

Есть видеозапись.

Лекция 10 (325) 23.11.2013

Александр Николаевич ОШКИН,

ассистент кафедры сейсмометрии и геоакустики геологического факультета МГУ,кандидат физико-математических наук.

Математика в геофизике

Что такое геофизика? Каким образом учёные узнают о внутреннем строении Земли? Какую роль в этом процессе играет математика? Что такое прямые и обратные задачи? Как можно использовать математическое моделирование? Ответам на эти и многие другие вопросы посвящена лекция о геофизике — науке о Земле.

Есть видеозапись.

Лекция 11 (326) 30.11.2013

Светлана Анатольевна БУРЛАК,

кандидат филологических наук, старший научный сотрудник Института востоковедения РАН и филологического факультета МГУ, член оргкомитета Московской олимпиады по лингвистике и математике, автор многих олимпиадных задач по лингвистике.

Самодостаточные лингвистические задачи

Лингвистику не проходят в школе, поэтому многие думают, что занимается она прежде всего теми правилами, которые в школе учат не нарушать. На самом деле главная задача лингвистики куда интереснее — описывать, как устроены самые разные языки. Даже самый неграмотный человек никогда не скажет «большая стол стоит в комнату», если русский язык для него родной. Почему? А, например, в английском языке прилагательные не изменяются, а существительные — только по числам. И таких законов много, для каждого языка — свои.

Лингвистическая задача даёт возможность некоторые из таких законов обнаружить очень быстро — на очень небольшом, специально подобранном материале. Задачи лингвистической олимпиады самодостаточны — это значит, что для их решения не нужны никакие специальные знания, достаточно лишь уметь чётко провести логическое рассуждение. В этом лингвистика похожа на математику: при описании языка требуется строго доказывать каждое предположение.

Советую прочитать условия задач.

Лекция 12 (327) 7.12.2013

Владимир Валентинович ВОЕВОДИН,

заместитель директора НИВЦ МГУ, член-корреспондент РАН.

Суперкомпьютеры: незаменимые и незаметные гиганты

Рассказ о том, почему один компьютер может весить больше тонны и занимать огромный зал, почему такие гиганты существуют рядом с нами, а мы об этом и не подозреваем, и почему такие электронные монстры нам всем крайне необходимы в обычной жизни. Эта лекция — о суперкомпьютерах, у которых все параметры «супер», что их и отличает от всех остальных представителей современного компьютерного мира.

Есть видеозапись.

Лекция 13 (328) 14.12.2013

Павел Юрьевич ПЛЕЧОВ,

профессор кафедры петрологии геологического факультета МГУ, доктор геолого-минералогических наук.

Физика магмы

Из чего состоит магма? Почему она иногда появляется на поверхности? Сколько времени могут жить лавовые озера? Чего следует бояться при извержении вулканов? Можете посмотреть слайды лекции.

Лекция 14 (329) 8.02.2014

Сергей Владимирович ДВОРЯНИНОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент, автор статей журналов «Квант», «Потенциал», «Фрактал», «Математическое образование», «Математика в школе», «Математика для школьников», «Физика для школьников», «Математика», «Квантик».

Что такое бифуркация?

На уроках математики решают задачи с параметрами. При изменении параметра корни могут появляться или исчезать. В физике изучают положения равновесия. Пример — детские качели. «Нелинейные» качели интереснее обычных: при разных значениях параметра может быть разное количество положений равновесия — устойчивых и неустойчивых. Подобные явления называют бифуркациями.

О них можно прочитать в статьях «Об одном математическом случае», («Квант», № 4-5, 2005 год), «Два слова о колодце (и не только о нём)» («Квант», № 1, 2013 год).

Есть видеозапись:
1. «Котёнок на лестнице»;
2. «Бифуркации»;
3. «Предвестник катастрофы»;
4. «Колодезный журавль»;
5. «Два устойчивых положения равновесия»;
6. «Судьба капли»;
7. «Сила натяжения нити»;
8. «Ворот».

Лекция 15 (330) 15.02.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, МЦНМО и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Площади и объёмы

Что такое площадь? Объём? Что такое площадь поверхности? Как вычислить объём шара и площадь сферы? А площадь поверхности и объём любого тела, полученного вращением фигуры вокруг некоторой прямой?

Лекция 16 (331) 22.02.2014

Сергей Владимирович ДВОРЯНИНОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент, автор статей журналов «Квант», «Потенциал», «Фрактал», «Математическое образование», «Математика в школе», «Математика для школьников», «Физика для школьников», «Математика», «Квантик».

Итерации

Корни уравнения x = f(x) называют неподвижными точками отображения f. Итерация (от латинского iteratio — повторение) — повторное применение какой-либо математической операции. Иногда итерации сходятся к неподвижной точке, называемой устойчивой. Были примеры и из геометрии, и из алгебры.

Лекция 17 (332) 1.03.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, МЦНМО и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Перемещения плоскости

Какие бывают перемещения плоскости? Что такое параллельный перенос, поворот, скользящая симметрия? Как найти композицию двух осевых симметрий с параллельными осями? А если оси пересекаются? Как любую перестановку представить в виде композиции двух инволюций? (Инволюция — это операция, повторное исполнение которой возвращает всё на свои места.) Как найти неподвижную точку композиции двух поворотов, сумма углов которых не кратна 360 градусам? Что такое теорема Наполеона о центрах равносторонних треугольников, построенных на сторонах данного треугольника?

Лекция 18 (333) 15.03.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, МЦНМО и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Группы перемешений и геометрии, в малом совпадающие с плоскостью

Что такое равномерно-разрывная группа перемещений? Что такое геометрия, в малом совпадающая с плоскостью?

Это продолжение лекции, состоявшейся 1 марта 2014 года.

Лекция 19 (334) 22.03.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, МЦНМО и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Суммы квадратов

Какие числа представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел?

Лекция 20 (335) 29.03.2014

Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической статистики механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ, руководитель исследовательского отдела в Яндексе, автор брошюр «Вероятность и алгебра в комбинаторике», «Остроугольные треугольники Данцера-Грюнбаума», «Хроматические числа», «Проблема Борсука», «Линейно-алгебраический метод в комбинаторике», «Системы общих представителей в комбинаторике и их приложения в геометрии», «Модели случайных графов» и «Гипотеза Кнезера и топологический метод в комбинаторике».

Системы представителей

Представим себе такую ситуацию. В некоторую организацию одновременно приехали с визитом несколько иностранцев — скажем, англичанин, француз, японец и венгр. Каждый из них умеет говорить только на своем родном языке. Желая должным образом принять гостя, организация стремится послать на встречу с ним одного из своих сотрудников, который бы владел соответствующим языком и, тем самым, помог визитёру сориентироваться в незнакомом городе (на наёмных переводчиков денег жалко). Допустим, нашлись как сотрудники, знающие английский, так и сотрудники, говорящие по-венгерски, и так далее. Однако организация не хочет отрывать слишком много людей от работы и пытается минимизировать количество сотрудников, командируемых на общение с иностранцами. Ведь могут же найтись и такие полиглоты в её рядах, которые одновременно владеют английским и японским или, и того больше, французским, японским и венгерским? Глядишь, приставит организация одного человека сразу к троим посетителям, и проблем станет меньше?

В общем случае поставленная задача весьма нетривиальна. Иногда её называют задачей о системах представителей, что вполне естественно. Она нашла многочисленные применения в математике. (Умение решать её позволяет даже повысить вероятность выигрыша в некоторых лотереях!)

Есть видеозапись:
1. «Система представителей: конкретный пример»;
2. «Системы представителей: постановка задачи»;
3. «Числа сочетаний»;
4. «Очевидные оценки сверху количества представителей»;
5. «Очевидные оценки снизу количества представителей»;
6. «Жадный алгоритм и оценка сверху».

Лекция 21 (336) 5.04.2014

Иван Леонидович МАЗУРЕНКО,

старший научный сотрудник лаборатории проблем теоретической кибернетики механико-математического факультета МГУ, кандидат физико-математических наук, автор патентов РФ и США по распознаванию и цифровой обработке сигналов и изображений.

Цифровая обработка и распознавание речевых сигналов

В основе цифровой обработки сигналов лежит теорема Котельникова о том, что если аналоговый сигнал имеет ограниченный по ширине спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по взятым с достаточно большой частотой его отсчётам. Речевые сигналы предназначены для их восприятия человеком, слуховой аппарат которого способен воспринимать лишь ограниченный диапазон частот. Поэтому любой речевой сигнал можно без потери информации представить в виде набора действительных чисел.

В основе распознавания речи лежит задача сравнения двух таких речевых сигналов, имеющих, вообще говоря, разную длину. Для вычисления расстояния между такими сигналами используют метод динамического программирования (принцип оптимальности Беллмана), реализованный в виде классических алгоритмов динамического искажения времени (Винцюк, 1968) и поиска оптимального пути в вероятностном автомате (Витерби, 1967).

Есть видеозапись.

Лекция 22 (337) 12.04.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, МЦНМО и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Математические рисунки

Были показаны при помощи проектора и компьютера очень красивые чертежи.

Лекция 23 (338) 19.04.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, МЦНМО и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Инверсия

Основные свойства инверсии и её применения.