МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (20) 7.10.2000

Алексей Брониславович СОСИНСКИЙ,

старший научный сотрудник института проблем механики РАН, проректор по международным связям Независимого московского университета.

Узлы и косы

Узел можно представлять себе как тонкую запутанную верёвку в пространстве, концы которой соединены. Простейший — тривиальный — узел вы видите на рисунке а). На рисунках б) и в) изображены нетривиальные узлы — соответственно, трилистник и восьмёрка.

а)		б)		в)		г)		д)

Развязать узел — значит деформировать его, не разрывая, в тривиальный узел. Например, узел рисунка г) развязать можно, а восьмёрку или трилистник — нельзя.

Косой из n нитей называют набор из n попарно непересекающихся «восходящих» ломаных в пространстве, соединяющих точки A₁, ..., A_n с точками B₁, ..., B_n (в произвольном порядке). Пример косы из трёх нитей показан на рисунке д).

Вышла брошюра: А.Б. Сосинский, «Узлы и косы», выпуск 10 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 2 (21) 14.10.2000

Семеон Антонович БОГАТЫЙ,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей топологии и геометрии мехмата МГУ.

Теорема Шарковского

Пусть f(x) = 1 – x. Тогда f(f(x)) = 1 – (1 – x) = x, причём f(1/2) = 1/2, и равенство f (x) = x выполнено только при x = 1/2. Точку 1/2 называют неподвижной точкой отображения f (или точкой периода 1), а все остальные точки — точками периода 2.

Вообще, для функции f(x) можно рассмотреть её итерации f(f(x)), f(f(f(x))), f(f(f(f(x)))),... и спросить себя, существует ли число x, для которого, например, f(f(f(x))) = x (точки периода 3). Теорема украинца Шарковского (1964) утверждает, что если упорядочить натуральный ряд некоторым специальным образом (как именно — объяснено ниже), то для любых натуральных чисел m и n, где m расположенного в рассматриваемом упорядочении правее, чем n, и для любого непрерывного отображения f прямой в себя, обладающего точкой периода n, отображение f будет обладать и точкой периода m.

Упорядочение натурального ряда, используемое в теореме Шарковского, устроено так:
сначала идут нечётные числа 3, 5, 7, 9, ...;
затем нечётные числа, умноженные на два: 6, 10, 14, 18, ...;
затем нечётные числа, умноженные на четыре: 12, 20, 28, 36, ...;
затем нечётные числа, умноженные на восемь: 24, 40, 56, 72, ...;
...,
наконец, степени двойки: ..., 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Доказательство теоремы опирается на теорему о среднем значении непрерывной функции и состоит в поиске периодической точки замкнутых путей в ориентированном графе.

Лекция 3 (22) 21.10.2000

Борис Петрович ГЕЙДМАН,

заместитель директора гимназии № 1543, автор учебников для начальной школы.

Площади многоугольников

Лекция посвящена вычислению площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции и других многоугольников. Были рассмотрены решения двадцати задач, сгруппированных вокруг следующих вопросов:

• равновеликость и равносоставленность;
• медиана делит треугольник на две части равной площади;
• разрезания треугольника и выпуклого четырёхугольника на равновеликие части.

Вышла брошюра: Б.П. Гейдман, «Площади многоугольников», выпуск 9 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 4 (23) 28.10.2000

Эрнест Борисович ВИНБЕРГ,

профессор кафедры алгебры мехмата МГУ.

Симметрия многочленов

Как и плоские фигуры или пространственные тела, многочлены могут быть симметричны. Тип симметрии какого-либо объекта определяется набором (группой) преобразований, которые его сохраняют. Например, так называемые симметрические многочлены — это многочлены, не меняющиеся ни при какой перестановке переменных. Всякий симметрический многочлен от двух переменных x, y можно представить в виде многочлена от x + y и xy, а всякий симметрический многочлен от трёх переменных x, y, z — в виде многочлена от x + y + z, xy + yz + zx и xyz.

Многочлен x² + y² + z² не меняется не только при перестановках переменных, но и при любых вращениях пространства. Можно доказать, что всякий многочлен с такой симметрией представим в виде многочлена от x² + y² + z².

Было рассказано о том, как описывать многочлены с данным типом симметрии, какие проблемы здесь возникают (например, 14-я проблема Гильберта).

Вышла брошюра: Э.Б. Винберг, «Симметрия многочленов», выпуск 11 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 5 (24) 4.11.2000

Сабир Меджидович ГУСЕЙН-ЗАДЕ,

профессор мехмата МГУ.

Можно ли причесать ежа?

Можно ли сдвинуть блин на сковородке так, чтобы никакая его точка не осталась на месте? Почему нельзя причесать ежа? На эти и на многие другие вопросы можно ответить, пользуясь индексом вращения — одним из важных понятий топологии.

Любую определённую на отрезке непрерывную функцию можно непрерывно продеформировать в любую другую (определённую на том же отрезке) непрерывную функцию. Оказывается, если множество аргументов и множество значений отображения — окружности, то аналогичное утверждение ложно. Более того, непрерывному отображению окружности в окружность можно сопоставить целое число — индекс вращения. Если индексы вращения двух отображений различны, то отображения негомотопны, то есть их нельзя продеформировать одно в другое; если же индексы равны, то можно.

Лекция 6 (25) 11.11.2000

Владимир Георгиевич СУРДИН,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Государственного астрономического института имени П.К. Штернберга (ГАИШ МГУ).

Динамика звёздных систем

Лекция состояла из двух частей. Первая посвящена изучению звёздных систем, состоящих из математических (идеальных) звёзд — точек, взаимодействующих по законам Ньютона и не меняющих свои массы. Вторая часть посвящена физическим (реальным) звёздам, способным изменять форму, размер и массу. Эта задача более сложна и требует современных высокоскоростных компьютеров для изучения эволюции звёздных систем.

План лекции: 1) Математические звёзды: одна звезда и её свита; двойные и кратные звёзды; одна среди равных (звезда в галактике); звёздные скопления; звёздные ассоциации.
2) Физические звёзды: звезда меняет массу (аккреция и звёздный ветер); звёзды обмениваются массой (тесные двойные системы); звезда меняет форму (приливные деформации); звезда, окружённая диском; звёздный мир в компьютере.

Вышла брошюра: В.Г. Сурдин, «Динамика звёздных систем», выпуск 12 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 7 (26) 18.11.2000

Михаил Васильевич СМУРОВ,

доцент кафедры общей топологии и геометрии мехмата МГУ, член методической комиссии Всероссийской математической олимпиады.

Почему похожи теоремы о вписанном и описанном четырёхугольниках?

Четырёхугольник является вписанным (описанным) тогда и только тогда, когда суммы величин (длин) его противоположных углов (сторон) равны. Прояснить связь этих теорем евклидовой геометрии помогает сферическая геометрия. Оказывается, хотя сумма углов сферического четырёхугольника больше 360°, признак вписанности в окружность тот же самый: суммы противоположных углов должны совпадать.

А теорема об описанном четырехугольнике в сферической геометрии является прямым следствием теоремы о вписанном четырёхугольнике. Точнее, эти две теоремы двойственны. Что означает последнее слово, было рассказано на лекции. Были приведены и другие примеры двойственных утверждений.

Лекция 8 (27) 25.11.2000

Владимир Николаевич ЧУБАРИКОВ,

профессор кафедры математического анализа мехмата МГУ.

Простые числа

С простыми числами связаны многие теоремы и проблемы арифметики, столетиями не поддающиеся решению. В последнее время большие простые числа нашли неожиданные и разнообразные применения.

Были сформулированы некоторые критерии простоты чисел, рассказано о доказательстве постулата Бертрана. Лектор хотел сформулировать асимптотический закон распределения простых чисел, рассказать о методе решета и проблеме Гольдбаха.

Лекция 9 (28) 2.12.2000

Владимир Игоревич АРНОЛЬД,

академик РАН.

Цепные дроби

Цепная дробь — это выражение вида
a₀ + 1 / (a₁ + 1 / (a₂ + 1 / (a₃ + ... .
Теория цепных дробей связана с теорией приближения вещественных чисел рациональными числами, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики.

На лекции было рассказано о существовании связи цепных дробей с геометрией выпуклых многоугольников. Это связано с тем, что цепная дробь периодична в тех и только тех случаях, когда выражаемое ею число является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Было рассказано также о том, что математики знают, насколько часто среди элементов a₁, a₂, a₃, ... цепной дроби, выражающей произвольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка, ...). Почти для всех вещественных чисел доля единиц больше доли двоек, которая больше доли троек, и так далее.

Вышла брошюра: В.И. Арнольд, «Цепные дроби», выпуск 14 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 10 (29) 9.12.2000

Александр Васильевич МИХАЛЁВ,

проректор МГУ, заведующий лабораторией вычислительных методов, профессор кафедры алгебры мехмата МГУ.

Теория групп в математике

Было рассказано о возникновении понятия группы в математике, об элементах теории групп и о применении теории групп в алгебре, теории чисел, геометрии и естествознании.

Лекция 11 (30) 16.12.2000

Иджад Хакович САБИТОВ,

доцент кафедры математического анализа мехмата МГУ, доктор физико-математических наук (доказавший постоянство объёма многогранника при его изгибании), лауреат премии имени Н.И. Лобачевского.

Суммы углов, площади и деформации замкнутых ломаных

Многоугольниками называют замкнутые ломаные без самопересечений. Для многоугольников в школьном курсе геометрии изучают такие характеристики, как сумма углов и площадь. Было рассказано, как определить суммы углов и площади для замкнутых ломаных с произвольными самопересечениями, как их вычислять и как они меняются при деформации ломаной. Был рассмотрен и ряд других задач геометрии замкнутых ломаных.

Читайте статью «Как быстро вычислить сумму углов многоугольника?» на страницах 114-126 журнала «Математическое просвещение» за 2018 год.

Лекция 12 (31) 03.02.2001

Александр Рафаилович ЗИЛЬБЕРМАН,

учитель физики лицея «Вторая школа», член редколлегии журнала «Квант» (ведущий раздела физики «Задачника "Кванта"»), составитель всех прошедших шести физических соросовских олимпиад, многолетний тренер команд СССР (ныне России) к Международным физическим олимпиадам.

Обращённая тепловая машина

Были обсуждены обратимые и необратимые процессы, проводимые с разреженными газами, циклические процессы и их использование в тепловых машинах. Далее разговор шёл про «обращённый» цикл — его часто называют «холодильным». Было рассказано, как можно затратить 100 джоулей работы и получить при этом 1000 джоулей тепла, обсуждён вопрос о том, может ли тепло перетекать от холодного тела к горячему, выяснено, как этот сложный вопрос решает холодильник, рассказано теоремах Карно и о том, почему самый лучший на свете цикл Карно никто не применяет на практике, обсуждены многие другие вопросы.

Лекция 13 (32) 10.02.2001

Юлий Александрович ДАНИЛОВ,

старший научный сотрудник Российского научного центра «Курчатовский институт», переводчик на русский язык книг Гарднера, Кеплера, Галилея, Эйнштейна, Пуанкаре, Паули, Кирхгофа, Гильберта, Тьюринга и Гейзенберга.

Квазикристаллы

Это новый класс твёрдых тел, полученный при поиске новых материалов в программе СОИ (стратегическая оборонная инициатива США). Экспериментаторам удалось попасть в очень узкую «температурную щель» и получить материалы с необычными новыми свойствами. Квазикристаллы обладают парадоксальной с точки зрения классической кристаллографии структурой, предсказанной из теоретических соображений (мозаики Пенроуза).

Теория мозаик Пенроуза позволила отойти от привычных представлений о фёдоровских кристаллографических группах (основанных на периодических заполнениях пространства).

Лекция 14 (33) 17.02.2001

Валентин Анатольевич СКВОРЦОВ,

профессор кафедры теории функций и функционального анализа мехмата МГУ.

Примеры метрических пространств

Математики часто рассматривают множества, между элементами («точками») которых определено расстояние (метрика). Такие множества называют метрическими пространствами, если выполнены следующие аксиомы: расстояние d(x, y) между любыми точками x и y неотрицательно, причём d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y; метрика симметрична, то есть d(x, y) = d(y, x); наконец,d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) для любых трёх точек x, y, z (неравенство треугольника).

Существует много разных способов определить расстояние в разных множествах. Можно измерять расстояние между кривыми, множествами, функциями,... Например, расстоянием между двумя определёнными на отрезке [0; 1] непрерывными функциями можно назвать максимум модуля разности этих функций (впрочем, иногда рассматривают и другие определения расстояния). В теории кодов рассматривают метрику на множестве слов и применяют её для автоматического исправления ошибок при передаче информации.

Многие метрические пространства разительно отличаются от привычной евклидовской плоскости. Например, для любых точек x, y, z может выполняться неравенство d(x, y) ≤ max(d(x, z), d(z,y)). Такие пространства называют неархимедовыми. В них все треугольники равнобедренные, а любая внутренняя точка круга является его центром.

Пример неархимедовой метрики — p-адическая метрика d(x, y) = p^–k, где p — простое число, x, y — различные рациональные числа, k — такое целое число, что x – y = p^k · (m/n) и целые числа m и n не делятся на p. Числа тем ближе друг в смысле p-адической метрики, чем на большую степень числа p делится их разность. Подобно тому как снабжённое обычной архимедовой метрикой множество рациональных чисел Q можно пополнить до множества вещественных чисел, его (Q) можно пополнить и по p-адической метрике, получив поле p-адических чисел, которое широко применяют в арифметике и алгебре.

Вышла брошюра: В.А. Скворцов, «Примеры метрических пространств», выпуск 16 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 15 (34) 24.02.2001

Владимир Михайлович ТИХОМИРОВ,

профессор кафедры ОПУ мехмата МГУ, заместитель главного редактора журнала «Квант», автор книги «Рассказы о максимумах и минимумах».

Экстремумы функций одной переменной

Есть много важных причин, которые побуждают людей довать задачи на максимум и минимум (экстремальные задачи). Первые задачи на экстремум были решены в античной древности Евклидом, Архимедом и другими. В XVII веке выяснилось, что большинство явлений природы могут быть объяснены с помощью рассмотрений задач на экстремум.

В том же столетии появились первые общие приёмы решения таких задач. Было рассказано об этих приёмах и на их основе решены некоторые задачи геометрии (Евклида, Кеплера, Ферма), объяснены некоторые механические и оптические явления, исследованы некоторые задачи, возникающие в технике.

Вышла брошюра: В.М. Тихомиров, «Дифференциальное исчисление (теория и приложения)», выпуск 15 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 16 (35) 3.03.2001

Виктор Иванович ГОЛУБЕВ,

cтарший научный сотрудник института микропроцессорных вычислительных систем (ИМВС РАН), соавтор книги «Факультативный курс математики. Решение задач. 11 класс», автор брошюры «Эффективные пути решения неравенств».

Решение уравнений и неравенств

Были продемонстрированы малоизвестные, эффективные и доступные широкой аудитории школьников 9–11 классов приёмы и методы решения уравнений и неравенств (в том числе с параметром). Овладение подобными приёмами и методами позволяет школьнику сэкономить силы и время на вступительных экзаменах и тем самым повысить свои шансы.

Есть видеозапись лекции на ту же тему.

Лекция 17 (36) 10.03.2001

Иджад Хакович САБИТОВ,

доктор физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа мехмата МГУ, лауреат международного конкурса им. Н.И. Лобачевского.

Объёмы многогранников

С древних времён известна формула Герона S² = p(p – a)(p – b)(p – c), выражающая площадь треугольника S через длины его сторон. Лекция посвящена её обобщению, позволяющему вычислять объём многогранника по рёбрам и диагоналям граней. Отправной точкой послужила формула, выражающая объём тетраэдра через длины его рёбер. Эту формулу можно найти во всех солидных справочниках по математике, но мало кто знает её историю. Было рассказано об авторах этой формулы (Тарталья и Эйлере) и разобраны её доказательства — как оригинальные, так и современные.

Был введён класс многогранников, объёмы которых можно вычислять, опираясь только на формулу для объёма тетраэдра. В заключение была сформулирована теорема, обобщающая формулу объёма тетраэдра на любые многогранники и дающая, как простое следствие, неизменность объёма изгибаемого многогранника (изгибанием называют такую непрерывную деформацию многогранника, в ходе которой меняется хотя бы один его двугранный угол, но грани перемещаются как твёрдые пластинки, то есть без какого бы ни было изменения их формы).

Вышла брошюра: И.Х. Сабитов, «Объёмы многогранников», выпуск 21 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 18 (37) 17.03.2001

Александр Николаевич КАРПОВ,

кандидат физико-математических наук, заместитель директора Малого мехмата, учитель лицея «Вторая школа».

Канторово совершенное множество

Один из замечательных объектов, изучаемых в математическом анализе — совершенное множество Кантора. Оно получается выбрасыванием из отрезка [0; 1] бесконечного множества интервалов. На первом этапе выбрасываем один интервал: (1/3; 2/3). Затем — два интервала: (1/9; 2/9) и (7/9; 8/9). Далее выбрасываем четыре интервала: (1/27; 2/27), (7/27; 8/27), (19/27; 20/27) и (25/27; 26/27). Вообще, на каждом следующем этапе мы делим каждый отрезок, из которых состоит к этому моменту множество, на три равные части и выбрасываем средние из этих частей.

С помощью канторова множества удаётся строить удивительные примеры. Один из них — канторова лестница. Она является непрерывной функцией, обладающей на первый взгляд несовместимыми свойствами: эта функция непрерывна на отрезке [0; 1], постоянна почти во всех его точках, но не является постоянной функцией.

Другим примером, подробно разобранным на лекции, является следующая задача. Из точки 0 в точку 1 по числовой прямой движутся заяц и черепаха. Они одновременно выходят из нуля, никогда не стоят на месте (скорость в каких-то точках пути может быть равна нулю, но время пребывания в таких точках должно быть нулевым) и не поворачивают обратно. Могло ли так быть, чтобы для каждой точки пути скорость зайца в момент прохождения этой точки была не меньше, чем скорость черепахи в момент прохождения этой точки, но черепаха пришла в единицу раньше, чем заяц? Ответ: такое возможно!

Лекция 19 (38) 24.03.2001

Олег Рустумович МУСИН,

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник географического факультета МГУ, автор многих олимпиадных задач, член жюри Всероссийской олимпиады.

Диаграммы Вороного и триангуляции Делоне

В последние десятилетия в научных и научно-популярных статьях и книгах всё чаще стали появляться имена двух замечательных отечественных математиков: Г.Ф. Вороного (1868–1908) и Б.Н. Делоне (1890–1980). Вклад этих ученых в теорию чисел и геометрию значителен и хорошо известен специалистам. Их имена популярны не только среди математиков, но и среди исследователей, применяющих геометрию в самых различных областях науки и техники.

Было рассказано, что такое диаграмма Вороного и триангуляция Делоне, обсуждены их свойства и приложения к вычислительной геометрии. Практически все доказательства проводились в рамках школьной геометрии (редкий случай, когда можно получать серьёзные результаты в современной науке, используя только элементарную математику!). Некоторые связанные с темой лекции задачи (например, о пустых и полных окружностях) появлялись на математических олимпиадах школьников.

Целый ряд теорем (о среднем радиусе, гармоническом индексе, минимальной поверхности) был впервые доказан лектором и опубликован в специальной литературе. Были формулированы некоторые нерешённые математические проблемы.

Лекция 20 (39) 31.03.2001

Геннадий Иванович ШИРМИН,

кандидат физико-математических наук, доцент физического факультета МГУ.

Динамическая астрономия

Динамическая астрономия — это раздел астрономии, занимающийся иссследованием движений небесных тел (поступательных, вращательных). Из методов динамической астрономии, которые позволяют определять орбиты небесных тел по даннным астрономических наблюдений, возникла почти вся прикладная и вычислительная математика.

Основные вопросы, которые были обсуждены на лекции, таковы: возникновение динамической астрономии, астрометрия как наблюдательно-экспериментальная база динамической астрономии, небесная механика как совокупность теоретических методов исследования движений небесных тел, определение орбит, вычисление эфемерид, прогнозирование движений небесных тел, устойчивость солнечной системы, астероидная опасность, проверка всемирности закона всемирного тяготения.

Лекция 21 (40) 7.04.2001

Александр Николаевич КАРПОВ,

кандидат физико-математических наук, заместитель директора Малого мехмата, учитель математики лицея «Вторая школа».

Избранные задачи

В первой части лекции были рассмотрены две классические задачи, использующие расходимость гармонического ряда, а во второй — две задачи А.В. Шаповалова о лабиринтах.

Лекция 22 (41) 14.04.2001

Сергей Владимирович КОНЯГИН,

профессор мехмата МГУ, один из авторов книг «Зарубежные математические олимпиады» и «Задачи студенческих математических олимпиад».

Проверка простоты чисел и малая теорема Ферма

Задача определения того, является ли данное большое целое число простым, всегда привлекала внимание математиков. Долгое время считалось, что она имеет лишь теоретический интерес. Однако несколько десятков лет назад стало ясно, что построение больших простых чисел важно для защиты информации. Было рассказано,

• как можно проверить, что большое число является составным, не найдя при этом ни одного его собственного делителя;
• как проверить, что большое число является простым, затратив не слишком много времени;
• кому и зачем нужны большие простые числа.

Лекция 23 (42) 21.04.2001

Алексей Александрович ЗАСЛАВСКИЙ,

старший научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН, учитель гимназии № 1543.

Теорема Понселе

Теорема Понселе — одна из самых сложных и красивых теорем элементарной геометрии. Она утверждает, что если некоторый n-угольник вписан в окружность и описан около другой окружности, то можно зафиксировать эти окружности и «вращать» между ними многоугольник так, что его вершины будут все время лежать на одной окружности, а стороны касаться другой (форма многоугольника при этом может меняться и довольно существенно).

Оказывается, такой «вращающийся» многоугольник Понселе обладает многими интересными свойствами: например, его центр тяжести описывает окружность, а центр тяжести точек касания его сторон со вписанной окружностью неподвижен.

Были рассказаны результаты, полученные в соавторстве с Г.Р. Челноковым. Некоторые из них можно доказать элементарными средствами. Для доказательства других нужен значительно более мощный и сложный аппарат алгебраической геометрии.

Лекция 24 (43) 28.04.2001

Валерий Борисович АЛЕКСЕЕВ,

заведующий кафедрой математической кибернетики факультета ВМК МГУ, профессор.

Теорема Абеля

В 1976 году издательство «Наука» выпустило книгу В.Б. Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях», рассказывающую о группах перестановок, комплексных числах, римановых поверхностях алгебраических функций. В ней выведены формула Кардано для решения уравнений третьей степени и формула Феррари для уравнений четвёртой степени, а также доказано, что уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах.

В 2001 году издательство МЦНМО переиздало эту книгу — одну из лучших популярных книг по математике, созданных в XX веке. И хотя книга настолько содержательна, что трудно рекомендовать её школьнику младше 9 класса, но любому, кто собирается сколько-нибудь серьёзно заняться математикой, она в высшей степени полезна.