МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (87) 4.10.2003

Александр Васильевич СПИВАК,

автор ряда статей журнала «Квант», соросовский учитель школ №№ 1018, 1101 и 1543.

Длины биссектрис треугольника

Легко построить треугольник по длинам трёх его медиан. Необходимым и достаточным условием существования треугольника с заданными длинами медиан m_a, m_b и m_c являются неравенства треугольника m_a < m_b + m_c, m_b < m_a + m_c и m_c < m_a + m_b.

Чуть сложнее построить треугольник по длинам его высот. Необходимым и достаточным условием существования такого треугольника являются неравенства треугольника на числа 1/h_a, 1/h_b и 1/h_c.

Задача о восстановлении треугольника по длинам его биссектрис намного труднее и интереснее. Решена она была совсем недавно. Оказывается, никаких ограничений на длины биссектрис нет! Более того, для любых трёх отрезков существует и единственен треугольник именно с такими длинами биссектрис. А вот циркулем и линейкой построить треугольник по длинам его биссектрис нельзя.

Читайте первый номер «Кванта» за 2003 год и энциклопедию «Числа и фигуры» издательства «Росмэн»>.

Лекция 2 (88) 11.10.2003

Семеон Антонович БОГАТЫЙ,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей топологии и геометрии мехмата МГУ.

Теорема Эрдёша-Морделла-Барроу

В 1935 году Пауль Эрдёш высказал гипотезу, которую доказали в 1937 году независимо Морделл и Барроу: для всякой точки M внутри заданного треугольника сумма расстояний от неё до вершин не менее удвоенной суммы расстояний от точки до сторон треугольника, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний и точка M — его центр.

Барроу доказал и более сильный результат: для любого треугольника ABC и для любой взятой внутри него точки M сумма проведённых из точки M биссектрис треугольников ABM, BCM и CAM не превосходит половины длин отрезков AM, BM и CM, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний и точка M — его центр.

К настоящему времени известно много доказательств гипотезы Эрдёша и её обобщений. Например, можно суммировать не длины биссектрис, а длины проведённых из точки M медиан. Можно складывать и длины отрезков чевиан, то есть длины отрезков A'M, B'M и C'M, где точка A' — пересечение прямой MA с отрезком BC, а точки B' и C' определены аналогично.

Есть и аналогичные стереометрические задачи. Например, для любого тетраэдра и точки, расположенной внутри него, сумма расстояний от этой точки до граней тетраэдра не менее чем в 2^3/2 раз меньше суммы расстояний от этой точки до вершин тетраэдра.

Многие теоремы были даны без доказательства. Было сформулировано много нерешённых задач.

Лекция 3 (89) 18.10.2003

Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ,

преподаватель Независимого московского университета, главный редактор издательства НМУ, автор или соавтор многих книг по математике («Наглядная топология», «Рассказы о числах, многочленах и фигурах», «Геометрические задачи древнего мира», «Задачи и теоремы линейной алгебры», «Задачи по планиметрии» и «Задачи по стереометрии»).

Задачи московских математических олимпиад

Были разобраны шесть задач первых московских городских олимпиад.

1. На поверхности куба найти точки, из которых данная диагональ этого куба видна под наименьшим возможным углом.
2. Сколькими различными способами можно представить 1 000 000 в виде произведения трёх натуральных чисел? (Произведения, отличающиеся лишь порядком сомножителей, считаем тождественными.)
3. На какое наибольшее число частей можно разбить пространство пятью сферами?
4. В каком из выражений: (1 – x² + x³)¹⁰⁰⁰ и (1 + x² – x³)¹⁰⁰⁰ после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при x²⁰?

5. Числа a₁, a₂, ..., a₁₀₀ удовлетворяют условиям a₁ – 3a₂ + 2a₃ ≥ 0, a₂ – 3a₃ + 2a₄ ≥ 0, a₃ – 3a₄ + 2a₅ ≥ 0, ... a₉₉ – 3a₁₀₀ + 2a₁ ≥ 0, a₁₀₀ – 3a₁ + 2a₂ ≥ 0. Докажите, что все числа a₁, a₂, ..., a₁₀₀ равны между собой.

6. Сумма ста положительных чисел больше 300, а сумма их квадратов больше 10 000. Докажите, что сумма некоторых трёх из этих чисел больше 100.

Лекция 4 (90) 25.10.2003

Сергей Иванович ТОКАРЕВ,

старший преподаватель Ивановского государственного энергетического университета, составитель книги «Турниры имени А.П. Савина», ведущий отдела задач журнала «Математика в школе», член жюри Всероссийской математической олимпиады.

Задачи журнала «Математика в школе»

Журнал «Математика в школе» учреждён Народным комиссариатом просвещения РСФСР в 1934 году. С момента основания в журнале есть отдел задач. Проводится ежегодный конкурс «решальщиков», причём в каждом номере журнала подводятся промежуточные итоги. Задачи решают учителя, школьники (в том числе шестиклассники), вузовские преподаватели (в том числе профессора). На лекции были разобраны 10 опубликованных в последние годы задач: 2 трудные задачи, 3 задачи средней трудности и 5 лёгких.

Трудные задачи.

1. С парой натуральных чисел (m;n) можно проделывать следующее: заменить её на пару (2m;n + 1) или на пару (m + 1; 2n). Верно ли, что из любой начальной пары с помощью таких операций можно получить пару одинаковых чисел?

2. Докажите, что для любого треугольника его вписанная окружности, окружность девяти точек (то есть окружность, проходящая через середины сторон) и окружность, проходящая через основания биссектрис внутренних углов этого треугольника, имеют общую точку.

«Средние» задачи.

3. У одного из семи воров, выстроенных в ряд, находится украденная монета. Сыщик может обыскать любого вора, но когда один обыск окончен, а другой (пока составляют протокол) ещё не начат, вор, у которого есть монета, незаметно передаёт её одному из своих соседей. Найдите минимальное число обысков, при помощи которых сыщик наверняка может обнаружить монету.

4. Верно ли, что среди миллиарда последовательных натуральных чисел существует число, делящееся на сумму своих цифр?

5. 10000 солдат — ефрейторы и рядовые — выстроены в каре 100×100 так, что у каждого из них ровно один сосед (справа, слева, спереди или сзади) — ефрейтор. Сколько ефрейторов в строю?

Лёгкие задачи.

6. Длинную бумажную ленту ширины 1 перегнули под углом к её краю. В результате образовался «двуслойный» треугольник. Найдите его наименьшую возможную площадь.

7. Бикфордов шнур горит неравномерно, а сгорает ровно за 1 минуту. При помощи двух таких шнуров отмерьте 45 секунд.

8. К сумме двух натуральных чисел прибавили их наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель. Могла ли сумма оказаться равна 123456789?

9. Нарисован выпуклый четырёхугольник, никакие две стороны которого непараллельны, и провели биссектрисы трёх его внутренних углов. При помощи одной линейки постройте биссектрису четвёртого внутреннего угла этого четырёхугольника.

10. Дни рождения большинства Петиных одноклассников в 1999 году приходились на четверги, а в 2000 году — на пятницы. Докажите, что и в 2001 году был такой день недели, на который приходились дни рождения большинства Петиных одноклассников.

Лекция 5 (91) 1.11.2003

Николай Николаевич АНДРЕЕВ,

научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова.

Экстремальные задачи

Экстремальные задачи — задачи о нахождении наилучшего с той или иной точки зрения решения — издавна занимали умы людей. Рассказ был посвящён задачам об экстремальном расположении точек на сфере (поверхности мячика).

• Пусть имеется много одинаковых монет. Положите одну на стол. Как много монет можно положить на стол, чтобы каждая касалась первой монеты? Как и любая экстремальная задача, она состоит из двух подзадач — указать какое-то решение (в нашем случае — показать, что можно расположить столько-то монет) и доказать, что это наилучшее решение (в нашем случае — что большее число монет нельзя положить вокруг одной).
• В пространстве задача о «контактном числе шаров» оказалась намного сложнее и была решена лишь более чем через 200 лет после знаменитого диспута И. Ньютона и шотландского учёного Д. Грегори. Решение этой задачи в многомерном пространстве используют при передачи информации на расстояния, в том числе и в компьютерных модемах.
• Все вы играли с магнитиками и видели, что одноимённые полюса магнитов отталкиваются друг от друга. Точно так же одинаково заряженные частицы отталкиваются друг от друга. В связи с исследованиями строения атома на рубеже XIX и XX веков английский естествоиспытатель Дж.Дж. Томсон поставил следующую задачу. Поместим N одинаковых зарядов (электронов) на сферу. К каким расположениям будут стремиться заряды, пытаясь минимизировать потенциальную энергию системы? Решение этой задачи известно лишь в нескольких частных случаях, о которых и было рассказано на лекции.

Рассказ об этих и других задачах наилучшего расположения точек на сфере был основан на фильмах, использующих трёхмерную графику, и был понятен многим зрителям.

Лекция 6 (92) 15.11.2003

Сергей Георгиевич СМИРНОВ,

ведущий научный сотрудник Российской академии образования, кандидат физико-математических наук.

Чудеса четырёхмерного пространства

Четырёхмерное пространство невозможно охватить единым взором наших трёхмерных глаз. Но можно изучать различные фигуры, вмещённые этим пространством: двумерные и трёхмерные плоскости, правильные многогранники, одномерные или двумерные узлы, следы волновых фронтов и особые некоммутативные числа — кватернионы. Изучение симметрий четырёхмерного пространства позволило открыть экзотические сферы размерности 7 и обнаружить четырёхмерные многообразия, которые нельзя сгладить.

Предполагалось, что слушатели знакомы с правильными трёхмерными многогранниками и скрещивающимися прямыми.

Лекция 7 (93) 22.11.2003

Юрий Валентинович НЕСТЕРЕНКО,

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, заведующий кафедрой теории чисел мехмата МГУ, профессор.

Простые числа

Некоторые натуральные числа можно разложить на меньшие сомножители. Например,

11 111 111 111 111 111 = 2071723 · 5363222357.

Такие числа называют составными. Числа 2071723 и 5363222357 простые: они на меньшие множители не раскладываются. Среди простых чисел попадаются любопытные экземпляры, например, 2003; 200311...112003, где единиц 547 штук; 11...11200311..11, где в каждой из групп единиц их 114 штук.

Евклид доказал, что множество простых чисел бесконечно. Исследования свойств простых чисел составляют один из самых древних и увлекательных разделов теории чисел. Вы узнаете о совершенных числах, о простых числах Мерсенна и Ферма; о том, как можно доказать простоту числа, сколько простых чисел имеется на отрезке от 1 до n, о простых числах, заканчивающихся на 2003, и вообще о теореме Дирихле про простые числа в арифметической прогрессии; о дзета-функции Римана и его знаменитой гипотезе.

Лекция 8 (94) 29.11.2003

Владимир Леонидович НАТЯГАНОВ,

доцент кафедры газовой и волновой динамики мехмата МГУ;

Любовь Михайловна ЛУЖИНА,

научный сотрудник НИИ механики МГУ;

Вера Арсентьевна НАЛЁТОВА,

доцент кафедры гидродинамики мехмата МГУ.

М.В. Ломоносов и загадки атмосферного электричества (мнимые парадоксы шаровой молнии и другие неординарные явления электромагнетизма)

Ломоносов в знаменитом «Слове о явлениях воздушных, от электрической силы происходящих» (24 ноября 1753 года) «... с присущей ему силой гения сумел в своей теории правильно вскрыть самые общие моменты в процессе образования атмосферного электричества» (Я.И. Френкель), то есть дал подробный анализ всех известных в то время типов электрических разрядов в газах почти в полном соответствии с их современной классификацией. Он заявил об открытии естественного атмосферного электрического поля Земли и одним из первых высказал гипотезу об электрической природе шаровой молнии, атмосферного смерча (торнадо) и северного сияния, причислив их к наиболее загадочным явлениям природного электричества.

Был дан краткий обзор современного состояния и успехов в изучении атмосферного электричества. Основное внимание уделено вопросам математического моделирования так называемых обратных задач, когда о сути природного явления приходится судить по неполным и часто противоречивым данным натурных наблюдений.

Примером подобной задачи является проблема строения шаровой молнии, которую по праву можно отнести к одному из самых парадоксальных и до сих пор загадочных явлений атмосферного электричества.

На основе электрокапиллярновихревой модели шаровой молнии объяснены парадоксы этого феномена природы и приведены аналоги родственных явлений.

Заинтересованный слушатель может обратиться к следующей литературе:
1. Ломоносов М.В. Избранные произведения. Т.1. Естественные науки и философия // М.: Наука, 1986.
2. Леонов Р.А. Загадка шаровой молнии. // М.: Наука, 1965.
3. Стаханов И.П. О физической природе шаровой молнии. // М.: Научный мир, 1996.
4. Смирнов Б.М. Проблема шаровой молнии. // М.: Наука, 1988.
5. Натяганов В.Л. Электрокапиллярновихревая модель шаровой молнии. ДАН 2003, Т. 390, №6.

Лекция 9 (95) 6.12.2003

Владимир Игоревич АРНОЛЬД,

академик.

Топология алгебры и теории чисел

Почему ab = ba, можно понять, вычисляя площадь прямоугольника двумя способами. Топология объясняет много разных фактов алгебры и теории чисел. Вот пять примеров.

1. Соединим каждый остаток от деления на 7 стрелкой с его квадратом. Граф возведений в квадрат элементов любой конечной группы имеет компонентами связности циклы, оснащённые одинаковыми во всех вершинах цикла деревьями.

2. Граф возведений в квадрат матриц второго порядка с определителем 1, составленных из остатков от деления на простое число p, естественно приводит, при p = 5, к пяти кубам Кеплера, вписанным в додекаэдр. Двенадцать рёбер каждого куба Кеплера — это двенадцать диагоналей двенадцати пятиугольных граней додекаэдра. Кеплер придумал эти кубы ради описания больших осей орбит планет солнечной системы в своей книге «Гармония мира».

3. Топология алгебры включает и такой факт: «конечная окружность», заданная уравнением x² + y² = 1 (где x и y — остатки от деления на простое число p, p > 2) является циклической группой порядка p – 1, если p даёт остаток 1 при делении на 4, и порядка p + 1, если p даёт остаток 3 при делении на 4. Имеется и конечная p-плоскость Лобачевского, состоящая из p(p – 1)/2 элементов.

4. Имеется матричное обобщение малой теоремы Ферма, гласящей, что для любого простого p разность между p-й степенью суммы любых чисел и суммой их p-х степеней делится на p.

5. Длина k максимальной нетривиальной (состоящей не только из единичной матрицы) цепочки последовательных возведений в квадрат матриц размером 2 на 2 с определителем 1, составленных из остатков от деления на простое число p, определена условием: p сравнимо по модулю 2^k с числом 1 или с числом –1. Например, k = 2 для p = 5 или 11, k=4 для p = 17 или 47. Кубы Кеплера получаются из этих цепочек при p = 5.

Лекция 10 (96) 13.12.2003

Алексей Александрович ЗАСЛАВСКИЙ,

старший научный сотрудник ЦЭМИ РАН, учитель гимназии 1543, автор книги «Геометрические преобразования» и ряда статей журнала «Квант».

Тетраэдр Жергонна

Соединив каждую вершину треугольника с точкой касания противоположной стороны со вписанной окружностью, получаем три отрезка, пересекающиеся (как легко установить при помощи теоремы Чевы) в одной точке — точке Жергонна. Для любого тетраэдра тоже можно соединить каждую его вершину с точкой касания вписанной сферы с противоположной рассматриваемой вершине гранью тетраэдра. Получим четыре отрезка, далеко не всегда пересекающиеся в одной точке. Однако если два из них пересекаются то и другие два тоже пересекаются (не обязательно в той же точке).

Далее, все четыре отрезка, соединяющие вершина тетраэдра с соответвующими точками касания противоположных граней с вписанной сферой, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

• произведения косинусов половин противоположных двугранных углов равны;
• точки касания вписанной сферы с гранями тетраэдра являются точками Торричелли этих граней (то есть точками, из которых стороны соответствующего треугольника видны под углами величиной 120°);
• проекции центра вневписанной сферы на ребра соответствующей грани образуют правильный треугольник.

Лекция 11 (97) 20.12.2003

Александр Рафаилович ЗИЛЬБЕРМАН,

учитель физики лицея «Вторая школа», ведущий раздела физики «Задачника «Кванта»».

Геометрическая оптика

Что мы видим, когда смотрим? Как преломляется и отражается свет; чем могут быть полезны призмы, линзы и зеркала? Источник света и его изображение.
Свет — это волны. Ну, и что? В общем, вся оптика за полтора часа...

Лекция 12 (98) 27.12.2003

Александр Васильевич СПИВАК,

автор ряда статей журнала «Квант», соросовский учитель школ №№ 1018, 1101 и 1543.

Числа Бернулли

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705) изучал свойства последовательности чисел, возникающей при суммировании степеней последовательных натуральных чисел. А именно, для любого натурального k существует — и это будет доказано на лекции — такой многочлен S_k(n), что для любого натурального n сумма k-х степеней первых n натуральных чисел равна S_k(n). Числами Бернулли B_k называют коэффициент при первой степени переменной n многочлена S_k(n). Оказывается, B₁ = ¹/₂, а все остальные числа Бернулли с нечётными номерами равны 0. Было выведено рекуррентное соотношение, выражающее очередное число Бернулли через предыдущие, а также формулу,выражающую коэффициенты многочлена S_k(n) через числа Бернулли. И разные другие интересные формулы.

Лекция 13 (99) 14.02.2004

Николай Николаевич АНДРЕЕВ,

научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова РАН.

Удивительные многогранники

Мир многогранников интересен и занимателен. Было рассказано о некоторых свойствах многогранников, на первый взгляд противоречащих интуиции.

• Если из одинаковых наборов граней можно сложить выпуклый и невыпуклый многогранники, может ли объём невыпуклого быть больше объёма выпуклого?
• Один тетраэдр лежит внутри другого. Может ли сумма длин рёбер внутреннего тетраэдра быть больше суммы длин рёбер объемлющего?

В обоих случаях — может!

Рассказ был сопровождён демонстрацией мультфильмов. Подробный ответ на второй вопрос можно найти в статье А.В. Спивака и В.М. Тихомирова «Неравенство треугольника» в энциклопедии «Числа и фигуры» издательства «Росмэн».

Лекция 14 (100) 21.02.2004

Владимир Юрьевич ПРОТАСОВ,

преподаватель мехмата МГУ и Независимого Московского университета, кандидат физико-математических наук.

Геометрические задачи на максимум и минимум

Было рассказано о задаче Фаньяно (о нахождении треугольника наименьшего периметра, вписанного в данный треугольник), о задаче Торричелли (о точке T, для которой сумма расстояний AT + BT + CT минимальна), о сетях Штейнера (о нахождении кратчайшей системы дорог, соединяющих данные точки), о задаче Дидоны (о нахождении фигуры максимальной площади данного периметра) и о некоторых других знаменитых экстремальных задачах.

Вышла брошюра: В.Ю. Протасов, «Максимумы и минимумы в геометрии», выпуск 31 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 15 (101) 28.02.2004

Игорь Дмитриевич ЖИЖИЛКИН,

учитель центра образования № 1874.

Инверсия

Инверсия (симметрия относительно окружности) — это преобразование плоскости, при котором внутренняя и внешняя части окружности меняются местами. Такое «выворачивание плоскости наизнанку» обладает многими интересными свойствами и может быть использовано для решения сложных задач. Например, такова задача Паппа об арбелосе: если рассмотреть отрезок, разбитый некоторой точкой на два отрезка, и построить как на диаметрах три полуокружноси по одну сторону от прямой, а затем вписать окружность в образовавшийся криволинейный треугольник (арбелос), то расстояние от её центра до прямой равно её диаметру.

Были рассмотрены некоторые частные случаи знаменитой задачи Апполлония о построении окружности, касающейся трёх данных окружностей (некоторые из которых могут быть заменены на прямые), а также связь между инверсией и стереографической проекцией.

Вышла брошюра: И.Д. Жижилкин, «Инверсия», выпуск 35 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 16 (102) 6.03.2004

Алексей Николаевич РУДАКОВ,

профессор Независимого Московского и Норвежского научно-технологического университетов, заведующий отделом математики института системных исследований РАН, доктор физико-математических наук.

Задавание вопросов и измерение количества информации

Получение информации можно представить как получение ответов на вопросы. Количество информации естественно связано с количеством вопросов. Впрочем, стратегия задавания вопросов тоже влияет на их количество. Мы можем смоделировать ситуацию в виде игры между двумя участниками: один задает вопросы, другой отвечает.

При обсуждении стратегии вопрошающего мы используем некоторое дерево решений и кодировку возможных ответов. Учёт предпочтений «игроков» потребует привлечения вероятностных соображений. Таким образом, количество информации связано со средним количеством вопросов (математическим ожиданием их числа), необходимых при оптимальной стратегии.

Лекция 18 (104) 20.03.2004

Николай Германович МОЩЕВИТИН,

доцент кафедры теории чисел мехмата МГУ, доктор физико-математических наук, учитель школы 1134, член Федерального экспертного совета по математической учебной литературе, преподаватель Малого мехмата.

Функции Мёбиуса и Эйлера

Вычислить количество натуральных чисел, не превосходящих 1000 и взаимно простых с числом 1000, можно при помощи так называемой формулы включений-исключений. А именно, из числа 1000 вычтем количество чётных чисел, то есть число 1000 : 2 = 500, вычтем количество чисел, делящихся на 5, то есть число 1000 : 5 = 200, и, поскольку оканчивающиеся на ноль числа были учтены при этом дважды, «для восстановления справедливости» не забудем прибавить число 1000 : 10 = 100. Таким образом получаем значение функции Эйлера:

φ (1000) = 1000 – 500 – 200 + 100 = 400.

Функция Эйлера числа n — это количество натуральных чисел, не превосходящих числа n и взаимно простых с ним.

Развитие идеи включений-исключений приводит к замечательной теоретико-числовой функции — функции Мёбиуса. Она определена частичным порядком, который задан на множестве натуральных чисел отношением делимости, и очень важна для теории чисел. Многие классические задачи о простых числах могут быть сформулированы как задачи о поведении функции Мёбиуса. Были доказаны некоторые свойства функции Мебиуса и рассказано о глубоких и сложных (в том числе нерешённых) задачах аналитической теории чисел, связанных с этой функцией.

Лекция 19 (105) 27.03.2004

Татьяна Константиновна КАМЕНЕВА,

учитель геометрии школы имени А.С. Пушкина города Пермь.

Памяти Игоря Фёдоровича Шарыгина

Знакомство лектора с книгой И.Ф. Шарыгина произошло 30 марта 1997, когда В.И. Голубев сказал: «Будем в Нягани с Игорем Фёдоровичем проводить семинар — поговорим.» На всякий случай: Нягань находится за Полярным кругом! 27 августа 1997 года лектор появилась в Нягани с увесистым альбомом (сейчас их уже несколько) чертежей и с решениями примерно 500 из 1057 задач сборника «Геометрия 7–11».

Искусством классической геометрии — и создания красивых чертежей, и нахождения неожиданных связей между геометрическими фигурами — И.Ф. Шарыгин владел в совершенстве. На лекции были разобраны некоторые такие задачи и показаны соответствующие рисунки.

Лекция 20 (106) 3.04.2004

Игорь Дмитриевич ЖИЖИЛКИН,

учитель образовательного центра 1874.

Поляры и проективная плоскость

В XIX веке В. Понселе рассмотрел полярное преобразование относительно окружности (или относительно эллипса, гиперболы или параболы). Оно тесно связано с инверсией, но переводит не точки в точки, а точки в прямые и прямые в точки. При этом точке пересечения двух прямых соответствует прямая, проходящая через эти две точки. Точки, лежащие на одной прямой l, переходят в прямые, проходящие через образ прямой l.

При полярном преобразовании центр окружности «никуда не переходит». Это неудобно, поэтому к обычной евклидовой плоскости добавляют ещё одну — «бесконечно удалённую» — прямую. Получают замечательный геометрический объект — проективную плоскость. Многие задачи геометрии изящно решаются при помощи проективной плоскости, полюсов и поляр. В частности, будут обсуждены теорема Дезарга, теорема Паппа, теоремы Паскаля и Брианшона.

Лекция 21 (107) 10.04.2004

Владимир Леонидович НАТЯГАНОВ,

доцент кафедры газовой и волновой динамики мехмата МГУ.

М.В. Ломоносов и загадки электричества (к электродинамической модели торнадо)

250 лет назад М.В. Ломоносов в «Слове о явлениях воздушных, от электрической силы происходящих» высказал гипотезы об электрической природе шаровой молнии, «тифона» (атмосферного вихря, смерча или торнадо) и северного сияния, отнеся их к наиболее загадочным явлениям природного электричества. Общепринятая теория полярных сияний была предложена в начале XIX века норвежским ученым Штермером, а вот относительно природы шаровой молнии и смерча согласия в научном мире нет и поныне.

Все теоретические модели смерча (торнадо, атмосферного вихря) можно разбить на два основных типа: термодинамические и электрогидродинамические. Хотя гипотеза об электрической природе смерча появилась довольно давно (Ф. Бэкон — XVII век, М.В. Ломоносов — 1753 г., Р. Хейр — 1837 г., Пельтье — 1840 г.), однако большинство математических моделей, разрабатываемых с середины прошлого века, относятся к термодинамическому типу.

Наряду с интересными фактами из натурных наблюдений за смерчами были обсуждены перспективы построения математической модели электрогидродинамического типа, в частности, обобщение электровихревой модели смерча Лундквиста-Шерклифа-Щербинина в зрелой (и самой разрушительной) стадии его существования.

Лекция 22 (108) 17.04.2004

Владимир Вячеславович СОКОЛОВ,

ведущий научный сотрудник Института теоретической физики имени Л.Д. Ландау, профессор.

Классификация правильных многогранников

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, все грани которого являются конгруэнтными правильными многоугольниками, причём во всех вершинах сходится одно и то же число граней. На лекции будет сформулировано определение правильного многогранника в n-мерном пространстве. Для этого будет введено понятие флага (для n = 2 флаг — это вершина и выходящее из неё ребро, а для n = 3 — вершина, выходящее из неё ребро и содержащая это ребро грань). Многогранник называют правильным, если для любых двух его флагов существует самосовмещение, переводящее первый флаг во второй.

Всем известно, что разных правильных многоугольников бесконечно много. Теорема Шлефли (1850 год) утверждает, что в трёхмерном пространстве правильных многогранников пять (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр), в четырёхмерном — шесть, а для любого n > 4 правильных многогранников всего лишь три. Её доказательство естественно разбивается на две части: комбинаторное описание многогранников и доказательство их существования (например, при помощи явного задания координат вершин). Первая часть была рассказана весьма подробно, а вторая, более техническая, лишь намечена.

Желающие познакомиться с лекцией могут сделать это по первому тому «Геометрии» Марселя Берже (издательство «Мир», 1984 год).

Лекция 23 (109) 24.04.2004

Николай Николаевич ОСИПОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики Красноярского государственного технического университета и кафедры алгебры Красноярского государственного педагогического университета.

Многочлены Чебышёва

Многочлен Чебышёва T_n — это такой многочлен, что для любого t верно равенство

cos (nt) = T_n(cos t).

Есть и другое, пожалуй даже более интересное определение: из всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 2^n-1 многочлен Чебышёва является наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [–1; 1]. («Отклонение от нуля» — это максимальное на данном отрезке значение абсолютной величины исследуемой функции.)

На лекции было рассказано о равносильности этих двух определений многочленов Чебышёва, выведены разнообразные рекуррентные соотношения, которым удовлетворяют эти многочлены. Но главное содержание лекции составили не эти хорошо известные соотношения и свойства, а довольно неожиданная теорема В.А. Маркова. Коротко говоря, среди всех многочленов степени n, отклоняющихся от нуля на отрезке [0; 1] не более чем на 1, многочлен T_n(2x – 1) имеет наибольшую возможную сумму модулей коэффициентов. Было рассказано и о других аналогичных фактах.