МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (65) 5.10.2002

Николай Петрович ДОЛБИЛИН,

ведущий научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова, доцент мехмата МГУ, член редколлегии журнала «Квант».

Игра «хаос» и фракталы

Хотя первые «фрактальные» объекты (например, кривая Пеано, заметающая весь квадрат, или совершенное канторово множество) появились в математике ещё в XIX веке, понятия «фрактал», «хаос», «множества Жюлиа» и «множество Мандельброта» привлекли к себе внимание широкой публики лишь в последние 10–20 лет. Это произошло благодаря тому, что была создана коллекция совершенно необычных прелестных образов. За их внешней привлекательностью стоит очень красивая математика. Лекция посвящена игре «хаос», с помощью которой можно рисовать на экране компьютера изящные фракталы, а также множествам Жюлиа и множеству Мандельброта (для понимания нужно знать, что такое комплексные числа). После лекции был показан фильм о множествах Жюлиа и Мандельброта.

Подробнее ознакомиться с фракталами можно по статье А.В. Жукова «Фракталы» энциклопедии «Аванта+», статьям Н.П. Долбилина «Игра «хаос» и фракталы» («Квант», № 4 за 1997 год) и «Самоподобные мозаики» («Квант», № 2 за 1998 год), а также по книгам Х.-О. Пайтген, П.Х. Рихтер «Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем» («Мир», 1993 год), Р.М. Кроновер «Фракталы и хаос в динамических системах» («Постмаркет», 2000 год), Б. Мандельброт «Фрактальная геометрия природы» (Москва, Институт компьютерных исследований, 2002 год).

Лекция 2 (66) 12.10.2002

Анатолий Георгиевич КУШНИРЕНКО,

доцент мехмата МГУ, заведующий отделом НИИ системных исследований РАН.

Индукционные функции на пространстве последовательностей, однопроходные алгоритмы и параллельные вычисления

Функцию на пространстве конечных числовых последовательностей называют индуктивной, если значение функции на последовательности длины k + 1 можно вычислить, зная значение функции на последовательности из первых k чисел и последнее число. Например, функция «сумма элементов последовательности» является индуктивной: чтобы получить сумму последовательности из k + 1 чисел, нужно к сумме первых k чисел прибавить последнее.

Любую индуктивную функцию можно вычислить за «один проход», перебирая элементы последовательности от начала к концу один раз. Для функции «сумма элементов последовательности» это делается так: «сумма первого элемента последовательности равна ему самому, сумма первых двух — первому плюс второй, сумма первых трёх — ранее вычисленной сумме первых двух элементов плюс третий элемент и так далее.

Функция «число элементов, равных нулю» является индуктивной, а функция «число элементов, равных максимальному элементу» — нет. Последнюю функцию можно вычислить за два прохода: на первом мы находим максимальное число М, а на втором подсчитываем число элементов, равных М.

Если элементы последовательности записаны на магнитной ленте или магнитном диске, то при вычислении значения функции основное время тратится на перебор элементов и предпочтительнее вычислять значение функции за один проход.

В первой части лекции будет рассказано о минимальным индуктивным расширении заданной функции — наиболее экономном способе вычислить значение любой функции за один проход. Такой способ всегда существует и почти единственен.

Если мы интересуемся не минимизацией работы по вычислению некоторого одного значения функции, а минимизацией времени этого вычисления, то можно попробовать распараллелить работу. Например, если человек складывает или умножает два числа за 10 секунд, то на сложение 2000 чисел он потратит более пяти с половиною часов, а на вычисление значения многочлена степени 1000 — более 11 часов. Тысяча человек смогли бы провести подобные вычисления гораздо быстрее (подумайте, как 1000 человек могли бы организовать работу по быстрому вычислению суммы 2000 чисел). Во второй части лекции будет рассказано, как 1000 человек могли бы быстро вычислить значение многочлена степени 2000. В заключение была обсуждена задача быстрого параллельного сложения «в столбик» многозначных двоичных чисел.

Лекция 3 (67) 19.10.2002

Юлий Александрович ДАНИЛОВ,

старший научный сотрудник Российского научного центра «Курчатовский институт», переводчик на русский язык книг Гарднера, Кеплера, Галилея, Эйнштейна, Пуанкаре, Паули, Кирхгофа, Гильберта, Тьюринга и Гейзенберга.

Маятник

Теория математического и физического маятников была построена Христианом Гюйгенсом (1629–1695) и Галилео Галилеем (1564–1642) на основе закона сохранения энергии и использования связи между движениям тел по наклонной плоскости и колебаниями маятника. Собственно говоря, закон сохранения энергии был выведен Гюйгенсом при анализе колебаний маятника. Исследования Гюйгенса намного переросли изучение частной механической системы, какой является маятник.

• Маятниковые часы Христиана Гюйгенса. Решение им проблемы изохронных колебаний маятника: создание часов с равномерным ходом.
• Маятник служит для точного измерения ускорения свободного падения g. Гравиметрическая разведка и обратная задача теории потенциала: определение контуров скрытого под землёй рудного тела по измерениям g.
• Проверка пропорциональности инертной и тяжёлой масс Бесселем (1784–1846) с помощью маятника. Равенство инерциальной и тяжёлой масс как постулат общей теории относительности Эйнштейна (1879–1955).
• Гармонические колебания в механических системах и электрических контурах с ёмкостью и индуктивностью.

Лекция 4 (68) 26.10.2002

Александр Васильевич СПИВАК,

соросовский учитель школ №№ 1018, 1101 и 1543, автор книги «Математический праздник» и ряда статей журнала «Квант».

Цепи и антицепи

• Из любых ли пяти выписанных в ряд различных чисел можно выбрать три, стоящие в этом ряду в порядке убывания или в порядке возрастания? А из девяти — четыре?
• Можно ли разместить на прямой 7 отрезков так, чтобы из любых трёх некоторые два пересекались и не было бы ни одной точки, принадлежащей сразу четырём отрезкам?
• Сколь много подмножеств данного n-элементных множеств можно выбрать так, чтобы любые два из них пересекались?
• Король пригласил на пир всех знакомых людоедов. Среди них есть людоеды, которые хотят съесть других людоедов (если людоед A хочет съесть людоеда B, то это не значит, что людоед B хочет съесть людоеда A). Известно, что наидлиннейшая цепочка, в которой каждый людоед хочет съесть следующего, состоит из шести людоедов. Сможет ли король так рассадить людоедов за шесть столов, чтобы ни за каким столом никто не хотел съесть никого из сидящих за тем же столом?

С таких задач начался рассказ о частично упорядоченных множествах. Затем была доказана теорема Дилворта: если наибольшее количество элементов антицепи конечного частично упорядоченного множества равно n, то его можно разбить на n цепей. Статья «Цепи и антицепи» опубликована в третьем номере «Кванта» за 2003 год и в томе «Числа и фигуры» «Новой школьной энциклопедии» издательства «Росмэн», изданном в 2005 году.

Смотрите видеозапись.

Лекция 5 (69) 2.11.2002

Александр Сергеевич МИЩЕНКО,

профессор кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ, лауреат Государственной премии по науке и технике, соавтор (с А.Т. Фоменко) учебника «Курс дифференциальной геометрии и топологии», автор книги «Векторные расслоения и их приложения».

Математика и генетика

Революция в молекулярной биологии, связанная с развитием методов чтения ДНК, привела к пониманию того факта, что генетика не может обойтись без математического анализа последовательностей нуклеиновых кислот и белков (для прочтения, расшифровки и предсказания их функций, в частности, для расшифровки генома человека). Возникла новая дисциплина — компьютерная генетика.

Ещё в 1989 году один из разработчиков математических методов генетики М. С. Уотермен писал, что одной из нерешённых проблем является создание программного обеспечения: ведь для биолога важно работать с данными на привычном языке. До тех пор, пока это не сделано, пользователи вынуждены писать громоздкие промежуточные процедуры, связывающие программы анализа и базы данных. Объём генетической информации катастрофически возрастает, а такое программное обеспечение ещё не создано. Тем не менее, в ближайшем будущем ожидается создание единой международной базы генетических данных и системы их обработки.

На различных примерах было показано, какие типичные математические задачи возникают при исследовании генетической информации.

Лекция 6 (70) 16.11.2002

Дмитрий Александрович КАЛИНИН,

преподаватель математики костромского центра дополнительного образования одарённых школьников, один из организаторов и автор многих задач турнира «Математика 6-8» журнала «Квант».

Три доказательства теоремы Фейербаха

Доказанная в 1822 году теорема Карла Вильгельма Фейербаха (1800–1834) утверждает, что окружность девяти точек (окружность, проходящая через середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами) касается вписанной окружности треугольника и трёх его вневписанных окружностей. Эта теорема — один из самых красивых фактов элементарной геометрии. На лекции были рассказаны три доказательства:

• как частный случай обобщения теоремы Птолемея;
• как частный случай «леммы о сегменте»;
• при помощью инверсии.

Для понимания лекции было полезно знать теорему Эйлера об окружности девяти точек, теорему Птолемея (cумма произведений противоположных сторон четырёхугольника равна произведению его диагоналей тогда и только тогда, когда этот четырёхугольник вписан в окружность), а также определение и круговое свойство инверсии (окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, а не проходящая — в окружность).

Литература: И.Ф. Шарыгин, «Геометрия. 9–11 классы. От учебной задачи к творческой»; В. Протасов, «Вокруг теоремы Фейербаха» («Квант», № 9 за 1992 год); В.В. Прасолов «Задачи по планиметрии».

Лекция 7 (71) 23.11.2002

Рафаил Калманович ГОРДИН,

заслуженный учитель России, учитель математики школы № 57, автор книг «Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы» («Дрофа», 2001 год), «Это должен знать каждый матшкольник», соавтор с И.Ф. Шарыгиным книги «5000 задач по геометрии».

Некоторые задачи планиметрии

Было рассказано о некоторых методах решения планиметрических задач: вспомогательные построения, площади, вспомогательная окружность, геометрические места точек, подсчёт углов, геометрические преобразования.

В качестве примеров были рассмотрены красивые (и не обязательно трудные) задачи, в разное время предлагавшиеся на математических олимпиадах, а также такие классические задачи, как задача Архимеда о вписанной в сегмент ломаной, задача Ферма о точке, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна, задача Фаньяно о треугольнике наименьшего периметра, вписанном в данный треугольник.

Есть видеозапись.

Лекция 8 (72) 30.11.2002

Сабир Меджидович ГУСЕЙН-ЗАДЕ,

профессор мехмата МГУ.

Разборчивая невеста

Примерно 40 лет тому назад Мартин Гарднер придумал такую задачу: «В некотором царстве, в некотором государстве пришло время принцессе выбирать себе жениха. В назначенный день явились 1000 царевичей и королевичей, их построили в очередь в случайном порядке и стали по одному приглашать к принцессе. Про любых двух претендентов принцесса, познакомившись с ними, может сказать, какой из них лучше. Познакомившись с претендентом, принцесса может либо принять предложение (и тогда выбор сделан навсегда), либо отвергнуть его (и тогда претендент потерян: царевичи и королевичи гордые и не возвращаются). Какой стратегии должна придерживаться принцесса, чтобы с наибольшей вероятностью выбрать лучшего из претендентов?».

В 1965 году её формулировку и решение рассказал на своём семинаре Е.Б. Дынкин. Но его метод был необобщаем на другие варианты задачи: например, когда целью является выбор не наилучшего, а одного из трёх лучших. В таком виде задача была решена лектором при помощи метода, который легко переносится и на ряд близких задач.

Так из полушуточной задачи вырос новый раздел математики — теория оптимальной остановки случайных процессов.

Вышла брошюра: С.М. Гусейн-Заде, «Разборчивая невеста», выпуск 25 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Есть видеозапись.

Лекция 9 (73) 7.12.2002

Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,

кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры математической статистики и случайных процессов мехмата МГУ, автор обзорной статьи «Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств» журнала «Успехи математических наук».

Хроматические числа

В сороковые годы XX века известными математиками П. Эрдёшом и Г. Хадвигером была поставлена одна из самых коротко формулируемых и в то же время одна из самых ярких и трудных задач комбинаторной геометрии — задача о нахождении хроматического числа евклидова пространства Rⁿ, то есть минимального числа цветов, в которые можно так раскрасить точки пространства, чтобы точки, отстоящие друг от друга на расстояние 1, оказались раскрашенными в разные цвета.

Эта задача до сих пор не решена даже для n = 2, то есть для евклидовой плоскости, хотя простотой и естественностью своей постановки она сразу привлекла внимание всех математиков. К настоящему времени разработано много интересных и остроумных подходов к её — пока частичному — решению.

Кроме доказательств и формулировок многих теорем, была рассказана история проблемы и некоторые нерешённые задачи.

Вышла брошюра А.М. Райгородского «Хроматические числа», выпуск 28 серии «Библиотека "Математическое просвещение"». Вышла статья А. Райгородского, О. Рубанова и В. Кошелева «Хроматические числа» в третьем номере журнала «Квант» 2008 года.

Есть видеозапись.

Лекция 10 (74) 14.12.2002

Владимир Игоревич АРНОЛЬД,

академик РАН.

Динамическая система Ферма-Эйлера и статистика случайных точек на окружности

Динамическая система Ферма действует на множестве вычетов по модулю n как умножение на постоянную, взаимно простую с модулем (например, на 2 для нечётного n).

Эйлер предложил ограничить эту динамику на множество вычетов, взаимно простых с n, и это позволило ему обобщить малую теорему Ферма (утверждающую, что a^n-1=1(mod n) для любого простого n и любого не делящегося на n целого a).

Удивительным свойством динамики Ферма–Эйлера является равенство периодов всех циклов этой динамической системы, являющейся перестановкой, диаграмма Юнга которой — всегда прямоугольник.

Было рассказано о свойствах этих прямоугольников, функции T(n), выражающей период динамики Ферма-Эйлера, и площади S(n) этого прямоугольника (которая растёт, как заметил Гаусс, в среднем как cn, где постоянная c = 6/(p²) = 1/z(2) есть вероятность взаимной простоты случайно взятых целых чисел,— отношение длины окружности к её диаметру (p ~ 3,1415926), а z — дзета-функция Римана).

В основном эти свойства открыты экспериментально, но некоторые из них уже доказаны (хотя недоказанных больше). Вот «физический» смысл некоторых из этих свойств.

Случайно выбранные T элементов m-элементного множества как правило различны, если T < a · m^1/2, и как правило не все различны, если T > a · m^1/2 («задаче о днях рождения T человек» соответствует m = 365).

Если бы случайной была орбита из T вычетов динамики Ферма–Эйлера, то рос бы период как квадратный корень из n. Наблюдаемый линейный рост периода означает неслучайность, проявляющуюся в расталкиваниии элементов орбиты, не желающих иметь близких соседей в своей геометрической прогрессии вычетов.

Подобное расталкивание (измеряемое мерой хаотичности, характеризующей средние расстояния между соседними элементами) наблюдается не только для геометрических прогрессий, но и для распределения простых чисел (также выглядящего хаотическим, как и распределение вычетов геометрической прогрессии), и даже для распределения вычетов многих арифметических прогрессий.

Из недоказанных гипотез, рядом с которыми проходит это исследование, упомяну бесконечность множества простых чисел q, для которых 2q + 1 тоже простое. (Как просты, например, 3 и 7, 5 и 11, 23 и 47.)

Есть видеозапись.

Лекция 11 (75) 21.12.2002

Константин Петрович КОХАСЬ,

старший преподаватель кафедры математического анализа математико-механического факультета СПбГУ.

Ладейные числа и многочлены

Для произвольной клетчатой фигуры («доски») и натурального числа k обозначим через r_k количество способов разместить на доске k не бьющих одна другую ладей. Ладейный многочлен — это производящая функция последовательности r₀, r₁, r₂, ..., то есть многочлен

r₀ + r₁x + r₂x² + ...

Было рассказано о свойствах ладейных чисел и ладейных многочленов, в частности, доказаны неравенства 18480 r₁₂ ≤ r₉² и r_k–1r_k+1 ≤ r_k². Было доказано, что если степень ладейного многочлена равна n, то у него n вещественных корней. Были рассмотрены и другие любопытные вопросы. Например, cуществуют ли доски, на которые можно поставить 5 не бьющих одна другую ладей ровно 2003 способами? Cуществуют ли две разные доски, ладейные многочлены которых одинаковы?

Вышла брошюра: К.П. Кохась, «Ладейные числа и многочлены», выпуск 26 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 12 (76) 15.02.2003

Николай Германович МОЩЕВИТИН,

доцент кафедры теории чисел мехмата МГУ, лауреат Государственной премии для молодых учёных, доктор физико-математических наук, учитель школы № 1134.

Теорема Минковского о выпуклом теле, диофантовы приближения и возвращаемость

Теорема Минковского о выпуклом теле гласит: всякое выпуклое симметричное относительно начала координат подмножество плоскости, площадь которого больше 4, содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат. Эта одна из основополагающих теорем геометрии чисел имеет много применений в теории диофантовых приближений — науке о том, как действительные числа приближаются рациональными. Был доказан один несложный результат из этой теории — теорема Дирихле о приближении; было рассказано, почему эта теорема является простейшей формой теоремы Анри Пуанкаре о возвращаемости траекторий. Был разъяснён парадокс Цермело: газ, выпущенный в комнате из бутылки, обязательно через некоторое время вернётся обратно в эту бутылку.

Лекция 13 (77) 22.02.2003

Алексей Геннадьевич МЯКИШЕВ,

учитель геометрии лицеев №№ 1303 и 1511, автор брошюры «Элементы геометрии треугольника» и статьи «О некоторых преобразованиях, связанных с треугольником»(«Математическое образование», номер 1 (8) за 1999 год).

Точка пересечения медиан треугольника

Были рассмотрены некоторые свойства точки пересечения медиан треугольника: как классические, так и недавно обнаруженные.

1. Точка пересечения медиан (центроид) — это центр тяжести треугольника (другими словами, сумма векторов, соединяющих точку пересечения медиан с вершинами треугольника, равна нулевому вектору).
2. Сумма квадратов расстояний от этой точки минимизирует сумму квадратов расстояний до вершин треугольника, а точка Лемуана (точка Лемуана — это точка, изогонально сопряжённая точке пересечения медиан, то есть точка пересечения прямых, симметричных медианам относительно соответствующих биссектрисс треугольника) минимизирует сумму квадратов расстояний до сторон.
3. Две замечательные прямые, содержащие центроид: прямая Эйлера (прямая Эйлера — это прямая, проходящая через центр описанной окружности, точку пересечения высот и центр окружности девяти точек) и прямая, проходящая через центр вписанной окружности и точку Нагеля (точка Нагеля — это точка пересечения прямых, соединяющих точки касания вневписанных окружностей треугольника с противоположными им вершинами треугольника).
4. Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C', A' и B' так, что отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке, то сумма векторов AA' + BB' + CC' равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда A', B' и C' — середины сторон треугольника. Доказательство использует теорему Чевы и теорему Паппа о центрах тяжести. (Теорема Паппа гласит: если на сторонах (или их продолжениях) треугольника АВС взяты точки А', В' и С' соответственно, то центры тяжести треугольников АВС и А'В'С' совпадают тогда и только тогда, когда АС' : ВС' = ВА' : СА' = СВ' : АВ'.)
5. Центры окружностей, описанных около шести треугольников, на которые медианы разбивают данный треугольник, лежат на одной окружности — окружности Ламойена (Floor van Lamoen). Рассмотреть центры этих шести окружностей придумал в 1998 году Кимберлинг (C. Kimberling), а существование окружности доказал Ламойен в 2002 году.
6. Если точка P пересечения чевиан AA', BB' и CC' треугольника ABC не является ни его центром тяжести, ни ортоцентром, то центры окружностей, описанных около шести треугольников AB'P, PB'C, CPA', A'PB, BPC' и C'PA, на которые чевианы разбивают данный треугольник, не лежат на одной окружности.

Последнее утверждение было доказано лектором в 2002 году. Журнал ««Mathematical Monthly» сообщил в 2002 году, что редакция тоже располагает доказательством обратного утверждения, предложенным Питером Ву (Peter Woo, доказательство ещё не опубликовано).

Лекция 14 (78) 1.03.2003

Татьяна Александровна ГАЛКИНА,

кандидат педагогических наук, учитель школы № 1543.

Видимое движение звёзд и Солнца

В настоящее время астрономические знания не являются столь необходимыми для человека, как много веков назад: чтобы ориентироваться в пространстве и во времени, нам ни к чему длительные наблюдения за светилами, достаточно посмотреть на часы, календарь, географическую карту или даже спросить о своём местоположении у спутника Земли.

Тем не менее, мы не можем не замечать Солнце, Луну или звёздное небо. Хотелось бы, чтобы каждый образованный человек не только наблюдал ежедневно происходящие у нас «над головой» явления, но и понимал их причины. Были разобраны следующие вопросы.

• Как ориентироваться по звёздному небу?
• Почему звёзды восходят и заходят?
• Каков вид звёздного неба на разных географических широтах, в разное время года, на разных планетах?
• Всегда ли Полярная звезда была и будет полярной? (Прецессия земной оси.)
• Почему происходит смена сезонов года, как меняются сезоны на других планетах?
• Почему Солнце движется не так, как все звёзды?
• Что такое пояс зодиака, в чём отличие «зодиакальных созвездий» от «знаков зодиака»?

Лекция 15 (79) 15.03.2003

Виктор Николаевич ЛАТЫШЕВ,

заведующий кафедрой высшей алгебры мехмата МГУ.

Системы нелинейных алгебраических уравнений

Карл Фридрих Гаусс считал математику царицей всех наук; развитие науки подтверждает это высказывание. Царицей математики Гаусс называл арифметику. Многие склонны рассматривать математику как «науку об уравнениях». Есть основания и для такой точки зрения.

Левые части уравнений могут быть весьма сложными функциями. Но в эффективных вычислениях чаще всего левые части — полиномы (многочлены) от нескольких неизвестных. Такие уравнения называют алгебраическими.

В школьном курсе изучают системы линейных уравнений от двух и трёх переменных. Их решают методом Гаусса исключения неизвестных.

Для решения системы алгебраических уравнений от одной переменной необходимо найти наибольший общий делитель левых частей уравнений и найти его корни. Наибольший общий делитель ищут при помощи алгоритма Евклида.

На первый взгляд алгоритм Евклида и метод Гаусса имеют различную природу. Был изложен современный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений, основанный на базисе Грёбнера полиномиального идеала. Алгоритм Евклида и метод Гаусса — частные случаи метода Грёбнера.

Лекция 16 (80) 22.03.2003

Григорий Вячеславович КОНДАКОВ,

руководитель сектора математики ДНТТМ.

Производящие функции

Решать многие комбинаторные задачи помогают производящие функции. Именно так обстоит дело для чисел Каталана и чисел Фибоначчи, а также во многих других комбинаторных задачах.

Лекция 17 (81) 29.03.2003

Сергей Георгиевич СМИРНОВ,

ведущий научный сотрудник Российской академии образования, кандидат физико-математических наук.

Прогулки по замкнутым поверхностям

Изучение замкнутых поверхностей началось в XVIII веке с теоремы Эйлера: В – Р + Г = 2 для всякого выпуклого многогранника, где В, Р и Г — количества вершин, рёбер и граней соответственно. Для невыпуклой многогранной поверхности эйлерова характеристика В – Р + Г может принимать совсем другие значения. Таким образом, получаем топологический инвариант, который позволяет доказать, например, что тор не гомеоморфен кренделю. Но различить таким образом тор и бутылку Клейна не удаётся. Различить их позволяет то, что тор ориентируем, а бутылка Клейна — нет. В конце XIX века Пуанкаре раскласифицировал замкнутые поверхности. Одновременно Хивуд связал эйлерову характеристику (В – Р + Г) с наименьшим числом цветов, необходимых для раскраски любой карты на данной поверхности (кроме сферы, и это привело к знаменитой задаче четырёх красок). В XX веке топологи стали изучать поверхности и с некоторых других точек зрения: какие являются границами неких тел, а какие нет; какие можно расположить в пространстве без самопересечений, а какие непременно самопересекаются.

Вышла брошюра: С.Г. Смирнов, «Прогулки по замкнутым поверхностям», выпуск 27 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 18 (82) 5.04.2003

Игорь Николаевич СЕРГЕЕВ,

доцент кафедры дифференциальных уравнений мехмата МГУ и профессор СУНЦ при МГУ имени А.Н. Колмогорова, соросовский учитель.

Избранные задачи олимпиад мехмата

Одиннадцатый год подряд мехмат проводит математическую олимпиаду для 8-10 классов. Участвуют в олимпиаде не только москвичи, но и ребята из Подмосковья — все, кто может и хочет приехать в МГУ. Задачи олимпиад красивы и поучительны. По своему стилю они несколько отличаются от задач московской городской олимпиады: чуть более близки к школьной программе. Вот задачи, которые были рассмотрены на лекции.

Две плоскости делят поверхность куба на четыре части одинаковой площади. Докажите, что куб они делят на четыре части одинакового объёма.

Прямая, заданная уравнением y = kx + b, пересекает гиперболу xy = 1 в точках A и B, а прямая, заданная уравнением x = ky + c, пересекает эту гиперболу в точках C и D. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Докажите, что если m и n — целые числа, а число m² + mn + 9n² делится на 35², то каждое из чисел m и n делится на 35.

Лекция 19 (83) 12.04.2003

Игорь Федорович ШАРЫГИН,

автор ряда статей и книг для школьников.

Геометрические этюды

Были рассмотрены классические теоремы планиметрии: теорема Морлея (точки пересечения трисектрис углов треугольника являются вершинами правильного треугольника) и теорема Фейербаха (вписанная окружность касается «окружности девяти точек», проходящей через середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами). Были предложены простые, малоизвестные доказательства, не использующие вычислений.

Также были обсуждены вариации и обобщения теоремы Бретшнейдера (для любого четырёхугольника ABCD выполняется соотношение AC²BD² = AB²CD² + BC²DA² – 2AB · BC · CD · DA · cos(/ABC + /CDA), теоремы Крелля (если a и b, c и d, e и f — длины противоположных рёбер тетраэдра, то площадь треугольника со сторонами, численно равными ab, cd, ef, равна 6VR, где V — объём исходного тетраэдра, R — радиус его описанной сферы), формулы Эйлера для площади педального треугольника (педальный треугольник — это треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки на стороны данного треугольника АВС; множество точек Х, для которых площадь педального треугольника равна фиксированному числу,— либо одна, либо две окружности, концентрические описанной окружности исходного треугольника АВС).

Лекция 20 (84) 19.04.2003

Ирина Васильевна РАЗУМОВСКАЯ,

доктор химических наук, научный руководитель лаборатории физики полимеров, профессор, заведующая кафедрой физики твёрдого тела МПГУ.

Тепловое движение в твёрдых телах и жидкостях

Энергия связи между частицами в конденсированных системах — твёрдых телах и жидкостях — велика по сравнению со средней энергией теплового движения. Поэтому возбуждения разной природы носят коллективной характер, распространяются по всему телу: достаточно одной частице сдвинуться из положения равновесия — и сдвигаются соседние частицы, по телу бежит упругая волна.

Проще всего рассмотреть тепловое движение в кристаллах — твёрдых телах с дальним порядком в расположении частиц. Тепловое движение в кристалле принципиально отличается от теплового движения в газе и представляет собой набор огромного числа упругих (продолных и поперечных) волн. Обычно можно считать, что действующая на каждую частицу сила прямо пропорциональна смещениям частиц из положения равновесия. Такое приближение называют гармоническим, и оно соответствует гармоническим колебаниям, распространяющимся по всему кристаллу и не взаимодействующим между собой. При этом каждая частица колеблется под влиянием всех колебаний сразу — «пляшет», как поплавок на воде. Длины волн колебаний меняются в широких пределах — от нескольких межатомных расстояний до величины, близкой к размеру всего кристалла; соответственно и частота колебаний меняется от частот порядка 10¹³ до небольших. За счёт случайного распределения кинетической энергии частиц они получают иногда возможность преодолеть потенциальный барьер и перескочить в иное положение равновесие; так происходит процесс самодиффузии.

Если рассмотреть какую-то плоскость в кристалле, в которой частицы расположены периодически, то положения равновесия соответствуют минимумам потенциальной энергии. Откладывая координаты частиц по осям абсцисс и ординат, а потенциальную энергию — по оси аппликат, мы получим потенциальный рельеф с долинами, вершинами и перевалами сложной конфигурации. Движение частицы напоминает движение точки, катящейся по этому «горному рельефу».

Теория теплового движение помогает объяснять многие свойства конденсированных систем: зависимость электропроводности металлов от температуры, теплопроводность диэлектриков, тепловое расширение.

Наконец, описание теплового движения частиц можно проводить, привлекая представления о фононах — квантах тепловых колебаний твёрдого тела.

Лекция 21 (85) 26.04.2003

Владимир Владимирович СПЕРАНТОВ,

кандидат педагогических наук, доцент кафедры общей и экспериментальной физики МПГУ.

Интерференция

Можно ли свет погасить светом? Оказывается, в некоторой точке — можно, но при этом в другом месте обязательно произойдёт усиление света. Во всех случаях, когда при встрече двух волн в некоторых точках происходит усиление или ослабление колебания, говорят об интерференции волн.

Интерферируют волны любой природы: волны на воде, звуковые волны, волны на скрипичной струне, радиоволны, видимый свет, рентгеновские и гамма-излучения.

Изучая законы интерференции, физики получили законы распространения волн и научились с помощью волн передавать информацию.

Наблюдение за интерференцией привело к созданию современных телескопов, способных исследовать излучение удалённых звёзд и галактик, и микроскопов, измеряющих длины с точностью до одной миллионной доли метра, а также изучать структуры кристаллов и получать спектральные «портреты» атомов.

Лекция 22 (86) 17.05.2003

Жан-Кристофф НОВЕЛЛИ,

сотрудник франко-русской лаборатории;

Флоран Ивер,

сотрудник национального центра научных исследований (CNRS, Париж).

Математика жонглирования

Для изучения жонглирования были построены конечные автоматы (знание теории автоматов не предполагалось, нужные понятия были разъяснены на лекции). Была получена формула для количества возможных фигур жонглирования. Слушателям было полезно (но не обязательно) знакомство с перестановками и биномиальными коэффициентами. Лекция была интересна не только для школьников 9-11 классов, но и для многих других: её сопровождало жонглирование пятью предметами, поясняющее теоретические изыскания.

Переводил на русский язык и комментировал профессор Алексей Брониславович Сосинский. Есть видеозапись.