МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (477) 21.09.2019

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Уравнения Пелля и числа Фибоначчи

Один из самых интересных видов уравнений.

По техническим причинам лекция не была записана, но есть видеозапись прошлых лет и занятий, на которых решали задачи:
1. «Уравнения Пелля»;
2. «Доказательство Вайлдбергера существования решения уравнения Пелля»;
3. «Три задачи о степенях квадратичных иррациональностей и ещё одна о корне из 2»;
4. «Сопряжённое число»;
5. «Ещё раз о переходе к сопряжённому числу»;
6. «Сумму корней возводим в степень»;
7. «Если сумма числа и обратного к нему целая, то и для степени это так»;
8. «Семь задач о квадратных корнях и три об уравнениях»;
9. «Решения задач о квадратных корнях»;
10. «Когда разность кубов соседних натуральных чисел — квадрат?»;
11. «Разность кубов отличающихся на 2 целых чисел — не квадрат»;
12. «Разлагая на множители, доказываем, что числа являются квадратами».

Лекция 2 (478) 28.09.2019

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Малая теорема Ферма и свойства чисел Фибоначчи, часть I

Малая теорема Ферма — одна из важнейших теорем арифметики.

Есть видеозапись:
13. «Квадрат, гипербола и числа Фибоначчи»;
14. «Делители чисел Фибоначчи»;
15. «На любое натуральное число делится хотя бы одно число Фибоначчи»;
16. «Делимость чисел Фибоначчи на простое число»;
17. «Явная формула n-го числа Фибоначчи»;
18. «Делимость числа Фибоначчи на простое число и малая теорема Ферма».

Лекция 3 (479) 5.10.2019

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Уравнения Пелля

Доказали основные теоремы об уравнениях Пелля.

Есть видеозапись:
19. «Принцип Дирихле и существование нетривиального решения уравнения Пелля»;
20. «Структура решений уравнения Пелля»;
21. «Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи»;
22. «Если правая часть уравнения Пелля не равна 1, то оно может иметь более одной серии решений»;
23. «Задача М39 (условие)»;
24. «Задача М39 (решение)».

Лекция 4 (480) 12.10.2019

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Сколько корней у многочлена?

Научились вычислять количество корней многочлена на данном отрезке.

Есть видеозапись:
1. «Касательные, производные, дифференцирование произведения;
2. «Перемены знака. Линейная и квадратичная функции;
3. «Последовательность Штурма и потери перемен знака;
4. «Кратные корни. Теорема Безу. Наибольший общий делитель многочлена и его производной;
5. «Квадратное уравнение и теорема Штурма;
6. «Теорема Штурма для многочлена третьей степени;
7. «Правило знаков Декарта.

Лекция 5 (481) 19.10.2019

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Малая теорема Ферма и свойства чисел Фибоначчи, часть II

Обсудили, что такое порядок числа по модулю. На следующей лекции про числа Фибоначчи докажем, что у всех чисел Фибоначчи, кроме 1, 8 и 144, есть хотя бы один простой делитель, которого нет ни у одного из предыдущих чисел Фибоначчи.

Есть видеозапись:
25. «Два свойства чисел Фибоначчи»;
26. «Обыкновенные и периодические дроби. Длины периодов»;
27. «Длины периодов дробей, знаменатели которых — степени числа 3 или 7»;
28. «Длины периодов записей чисел, обратных степеням простых чисел»;
29. «Функция Эйлера. Обобщение Эйлера малой теоремы Ферма»;
30. «Индуктивный способ доказательства формулы для чисел Фибоначчи»;
31. «Алгебраическое доказательство»;
32. «Комбинаторное доказательство».

Лекция 6 (482) 26.10.2019

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Вычислимые и перечислимые множества

Вспомнили лекции прошлого учебного года по математической логике.

Есть видеозапись:
17. «Вычислимые функции. Разрешимые и перечислимые множества»;
18. «Разрешимое множество, множество простых делителей элементов которого неразрешимо»;
19. «Нижние точки».

Лекция 7 (483) 2.11.2019

Александр Ханиевич ШЕНЬ,

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН и LIRMM (Монпелье, Франция), автор многих брошюр и книг для школьников и студентов: «Геометрия в задачах», «Программирование: теоремы и задачи», «Вероятность: примеры и задачи», «Игры и стратегии с точки зрения математики», «Математическая индукция», «Простые и составные числа», «О «математической строгости» и школьном курсе математики», «Космография».

Бросаем монету

Бросали монеты и размышляли о том, что такое случайная последовательность нулей и единиц.

Советую посмотреть и лекцию «Случайные числа и алгоритмы».

Есть видеозапись:
1. «Подбрасываем монеты, или Случайные последовательности»;
2. «Отклонения от среднего значения»;
3. «Среднее значение квадрата отклонения»;
4. «Что такое случайная последовательность?»

Лекция 8 (484) 9.11.2019

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Случайные блуждания

Продолжение лекции, которую прочитал 2 ноября Александр Ханиевич Шень.

Есть видеозапись:
5. «Случайные блуждания»;
6. «Потенциалы, сопротивления, токи и закон Ома. Закон Кирхгофа»;
7. «Альтернатива Фредгольма»;
8. «Последовательные приближения. Метод Монте-Карло»;
9. «Сопротивление двумерной решётки и расходимость гармонического ряда»;
10. «Сопротивление трёхмерной решётки и сумма геометрической прогрессии»;
11. «Вероятности невозврата»;
12. «Почему не уменьшается сопротивление?»

Лекция 9 (485) 16.11.2019

Александр Ханиевич ШЕНЬ,

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН и LIRMM (Монпелье, Франция), автор многих брошюр и книг для школьников и студентов: «Геометрия в задачах», «Программирование: теоремы и задачи», «Вероятность: примеры и задачи», «Игры и стратегии с точки зрения математики», «Математическая индукция», «Простые и составные числа», «О «математической строгости» и школьном курсе математики», «Космография».

Упорядоченные множества

Что значат слова «больше» и «меньше»? Есть ли в математике неочевидные теоремы, связанные с упорядоченностью?

Есть видеозапись:
1. «Частично упорядоченные множества»;
2. «Нетранзитивность»;
3. «Словарный (лексикографический) порядок»;
4. «Максимальные и наибольший, минимальные и наименьший»;
5. «Что такое конечное множество?»;
6. «Цепи и антицепи»;
7. «Неубывающие или невозрастающие подпоследовательности»;
8. «Наидлиннейшие неубывающая и наидлиннейшая невозрастающая подпоследовательности».

Лекция 10 (486) 23.11.2019

Сергей Борисович ГАШКОВ,

профессор кафедры дискретной математики мехмата МГУ, автор книг «Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений», «Элементарное введение в эллиптическую криптографию», «Криптографические методы защиты информации», «Современная элементарная алгебра в задачах и упражнениях», «Системы счисления и их применения».

Тригонометрия без геометрии

Определяем тригонометрические функции не так, как обычно учат в школе, а при помощи системы уравнений и неравенств, а также при помощи степенных рядов.

Есть видеозапись:
1. «Негеометрическое определение синуса и косинуса»;
2. «Выводим из уравнений и неравенств свойства функций»;
3. «Дифференцирование. Единственность пары искомых функций»;
4. «Степенные ряды для синуса и косинуса»;
5. «Разложение синуса в бесконечное произведение».

Лекция 11 (487) 30.11.2019

Сергей Владимирович ДВОРЯНИНОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент, автор статей журналов «Квант», «Потенциал», «Фрактал», «Математическое образование», «Математика в школе», «Математика для школьников», «Физика для школьников», «Математика», «Квантик».

Физико-математические миниатюры

60 лет назад нобелевский лауреат Е.Вигнер сказал о "непостижимой эффективности математики в естественных науках". Как подтверждение этого высказывания на лекции будет дано математическое объяснение интересных физических явлений.

Есть видеозапись:
0. «Пятидесятилетие журнала "Квант". 333-летие "Математических начал натуральной философии"»;
1. «Совместная работа»;
2. «Вписанные углы и Солнце над горизонтом»;
3. «Эффект Доплера»;
4. «Брёвна плавают вертикально или горизонтально?»
5. «Устойчивость линейки на цилиндре»;
6. «Как раскачаться на качелях?»
7. «Регулятор непрямого действия в гидроусилением, или Как устроен сливной бачок?»

Лекция 12 (488) 7.12.2019

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Закон больших чисел. Энтропия

Продолжение лекции, которую прочитал 2 ноября Александр Ханиевич Шень. Узнали, что такое энтропия вероятностного пространства.

Есть видеозапись:
13. «Несимметричная монета. Числа сочетаний и их обобщение»;
14. «Якоб Бернулли, Ирене-Жюль Бьенеме и Пафнутий Львович Чебышёв»;
15. «Доказательство Якоба Бернулли закона больших чисел»;
16. «Нецелое число бит»;
17. «Логарифмы»;
18. «Энтропия»;
19. «График функции, используемой для вычисления энтропии»;
20. «Неравенство Йенсена. Энтропия максимальна, когда элементарные события равновероятны».

Лекция 13 (489) 14.12.2019

Иджад Хакович САБИТОВ,

профессор кафедры математического анализа мехмата МГУ, доказавший неизменность объёма изгибаемого многогранника, автор брошюры «Объёмы многогранников».

Изопериметрические задачи

Одна из самых давних красивых задач геометрии — определить, фигуру какой наибольшей площади может ограничить кривая данной длины. Хотя ответ знали уже древнегреческие геометры, строгое доказательство было получено лишь в конце XIX века, а различные приложения и обобщения изучают до сих пор. Лекция посвящена истории задачи, её решению и родственным задачам.

Советуем прочитать:

• Д.А. Крыжановский «Изопериметры», 1959 год;
• Вильгельм Бляшке «Круг и шар», 1967 год;
• И.Ф. Шарыгин «Миф о Дидоне и изопериметрическая задача», журнал «Квант», 1 номер 1997 года;
• В.Ю. Протасов «Максимумы и минимумы в геометрии», 2005 год;
• В.М. Тихомиров «Рассказы о максимумах и минимумах», 1986 год.

Есть видеозапись:
1. «Дидона и Карфаген»;
2. «Доказательство Штейнера»;
3. «Существует ли фигура данного периметра максимальной площади?»
4. «Среди многоугольников с данными длинами сторон наибольшая площадь у вписанного»;
5. «Задача Дидоны»;
6. «Неравенство Брунна-Минковского и неравенство о площади и периметре».

Лекция 14 (490) 8.02.2020

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Симметричная монета и числа Каталана. Формула Стирлинга

Очередная лекция о вероятностях этого учебного года.

Есть видеозапись:
21. «Напоминание и ближайшие планы»;
22. «Числа Каталана: расстановки скобок и рекуррентная формула»;
23. «Теорема о баллотировке и метод отражений»;
24. «Пути, не пересекающие ось абсцисс»;
25. «Число e. Оценка числа n! снизу n-й степенью числа n/e»;
26. «Формула Стирлинга».

Лекция 15 (491) 15.02.2020

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Теорема о баллотировке. Закон арксинуса

Продолжение предыдущей лекции. Полезно послушать предыдущие лекции.

Есть видеозапись:
27. «Теорема о баллотировке: ещё раз об отражении и индукция»;
28. «Теорема о баллотировке и циклические сдвиги»;
29. «Обобщённая теорема о баллотировке и биекция Андрэ»;
30. «Треугольник Каталана»;
31. «Вероятность возвращения через 2n шагов и вероятность первого возвращения через 2n шагов»;
32. «Закон арксинуса для последнего возвращения».

Лекция 16 (492) 22.02.2020

Сергей Петрович КОНОВАЛОВ,

доцент кафедры высшей математики МФТИ, кандидат физико-математических наук.

Сжимающие отображения

Важная и в абстрактной математике, и в прикладной идея: отображения, уменьшающие расстояния не менее чем в некоторое фиксированное число раз, большее числа 1. Очевидно, такое отображение непрерывно и не может оставлять на месте более чем одну точку.

Советую статью «Метод итераций» В.Г. Болтянского.

Есть видеозапись:
1. «Быстрое умножение многозначных чисел»;
2. «Деление при помощи сжимающего отображения»;
3. «Вычисление квадратного корня»;
4. «Модифицированный метод касательных Ньютона».

Лекция 17 (493) 29.02.2020

Андроник Арамович АРУТЮНОВ,

доцент кафедры высшей математики МФТИ, кандидат физико-математических наук.

Графы Кэли и группы

Обсудили, что такое группа, образующие и определяющие соотношения.

Есть видеозапись:
1. «Что такое группа?»
2. «Граф Кэли группы»;
3. «Граф Петерсена и гипотеза гамильтоновости графа Кэли конечной групп»;
4. «Система образующих группы перестановок, кубик Рубика и граф диаметра 20»;
5. «Квазиизометричность графов Кэли одной и той же группы»;
6. «Максимальное число бесконечных компонент графа, полученного из данного графа удалением конечного множества вершин»;
7. «Пространство почти постоянных на графе функций, профакторизованное по почти равным нулю».

Лекция 18 (494) 7.03.2020

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Закон арксинуса. Биекции. Разложение квадратного корня и обратного к нему в степенной ряд

Есть видеозапись:
33. «Неотрицательных путей чётной длины столько же, сколько заканчивающихся на оси абсцисс»;
34. «Биекция между оканчивающимися на оси абсцисс путями чётной длины и неотрицательными путями той же длины»;
35. «Количество путей данной чётной длины с данным временем пребывания над осью абсцисс»;
36. «Числа Каталана и количество путей данной чётной длины с данным числом шагов над осью, возвращающихся на неё»;
37. «Пути длины 2n + 1, ровно r раз пересекающие ось абсцисс»;
38. «Вероятность возвращения на ось абсцисс и бином Ньютона»;
39. «Разложение квадратного корня в степенной ряд и числа Каталана».

Лекция 19 (495) 27.03.2020

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Усиленный закон больших чисел. Теорема Муавра-Лапласа

Есть видеозапись:
40. «Неотрицательных путей чётной длины столько же, сколько заканчивающихся на оси абсцисс»;
41. «Формула Валлиса и вычисление постоянной в формуле Стирлинга»;
42. «Локальная теорема Муавра-Лапласа»;
43. «Интегральная теорема Муавра-Лапласа»;
44. «Вычисляем постоянную формулы Стирлинга, рассматривая распределение Гаусса»;
45. «Локальная теорема Муавра-Лапласа».

Работа Малого мехмата приостановлена до победы над вирусами.