МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (219) 19.09.2009

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Теорема Менгера как следствие теоремы о максимальном потоке и минимальном разрезе

Теорема Менгера (доказанная в 1927 году) гласит: в любом графе максимальное количество путей, которые соединяют две его фиксированные вершины A и B, не пересекаясь при этом друг с другом ни по одной вершине, кроме самих точек A и B, равно минимальному числу вершин, которые можно вычеркнуть из графа так, чтобы после этого A и B оказались в разных компонентах связности, то есть чтобы любой путь от A к B в исходном графе вёл через одну из вычеркнутых вершин.

Во многих посвящённых теории графов книгах приведены довольно трудные доказательства теоремы Менгера. Однако, она является простым следствием из известной и красивой теоремы о максимальном потоке и минимальном разрезе. Таким образом, лекция была посвящена рассказу о важнейших идеях и теоремах теории графов: алгоритму чередующихся цепей, теореме Холла о различных представителях (другими словами, о деревенской свадьбе), теореме Менгера и другим «максиминным» теоремам. Несмотря на важность и силу результатов, понять эту лекцию смогут даже семиклассники.

Есть видеозапись.

Лекция 2 (220) 26.09.2009

Максим Вячеславович ПРАСОЛОВ,

студент 4 курса мехмата МГУ;

Михаил Борисович СКОПЕНКОВ,

кандидат физико-математических наук, сотрудник Института проблем передачи информации имени А.А. Харкевича, лауреат премии Мёбиуса.

Разрезания металлического прямоугольника

Каково отношение высоты этого шкафа к его ширине? Какие прямоугольники можно разрезать на квадраты? Когда из подобных друг другу прямоугольников можно составить квадрат? На первый из этих вопросов отвечает классическая теорема Дена (1903). Было рассказано доказательство этой теоремы, принадлежащее Бруксу, Смиту, Стоуну и Татту. Оно основано на физической интерпретации: прямоугольник считаем металлическим, а его противоположные стороны соединяем с источником постоянного тока.

Ответ на второй вопрос даёт теорема Ласковича–Ринна–Секереша–Фрайлинга (1994). Была рассказана идея доказательства этой теоремы, основанного на применении цепей переменного тока; сформулированы результаты о разрезаниях прямоугольника на прямоугольники, полученные этим методом. Помимо этого, было рассказано о полученном совсем недавно (Дуийвестийн, 2007) решении классической задачи: на какое наименьшее число попарно неконгруэнтных квадратов можно разрезать квадрат?

Лекция 3 (221) 3.10.2009

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Раскраски графов и системы линейных уравнений

Количество способов окрасить часть вершин графа так, чтобы для любой окрашенной вершины количество окрашенных соседок (вершины называем соседними, если они соединены ребром) было чётно, а для любой неокрашенной количество соседок было нечётно, может равняться только одному из чисел 1, 2, 4, 8, ... В частности, оно не может равняться нулю. Чтобы доказать этот факт, были рассмотрены системы линейных уравнений над полем из двух элементов.

Лекция 4 (222) 10.10.2009

Владимир Николаевич ЧУБАРИКОВ,

профессор, исполняющий обязанности декана механико-математического факультета МГУ.

Математика в Московском университете

В рамках «Фестиваля науки» В.Н. Чубариков выступил перед школьниками и их родителями.

Лекция 5 (223) 17.10.2009

Сергей Константинович ЛАНДО,

проректор Независимого Московского университета, декан факультета математики Государственного университета Высшая Школа Экономики, член правления Московского Математического Общества.

Сколькими способами можно раскрасить карту?

Издатели политических карт стремятся к тому, чтобы граничащие между собой государства были покрашены в разные цвета — тогда граница между ними хорошо видна. Количество возможных цветов ограничено имеющимися полиграфическими возможностями: например, не более 7 цветов. Было рассказано, как посчитать количество таких раскрасок данной карты в данное число цветов. Кроме того, было обсуждено поведение этого количества при изменении количества красок и при изменении карты. Оказывается, похожим образом ведут себя и некоторые другие характеристики карт, некоторые из которых связаны, а некоторые не связаны с раскрасками.

Лекция 6 (224) 24.10.2009

Владимир Михайлович ТИХОМИРОВ,

профессор кафедры ОПУ мехмата МГУ, автор книги «Рассказы о максимумах и минимумах».

Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского

Рассмотрим такие два высказывания:

• сумма углов любого треугольника равна двум прямым (ста восьмидесяти градусам);
• ни у одного треугольника сумма углов не равна двум прямым.

В привычной вам геометрии Евклида верно первое высказывание. В неевклидовой геометрии (называемой в России геометрией Лобачевского) истинно второе.

Лекция 7 (225) 31.10.2009

Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,

доктор физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики механико-математического факультета МГУ, профессор кафедры «Анализ данных» факультета инноваций и высоких технологий МФТИ, руководитель исследовательской лаборатории Яндекса, автор брошюр «Вероятность и алгебра в комбинаторике» и «Остроугольные треугольники Данцера-Грюнбаума».

Системы представителей

Представьте, что в группе из 20 школьников некоторые 6 человек лучше всех решают задачи по комбинаторике, ещё какие-то 6 человек сильны в геометрии, 6 — в алгебре, и так далее: всего 10 предметов, и по каждому из них мы выделили шестерых сильнейших ребят в группе. Всегда ли можно так разбить исходную группу школьников на две (не обязательно равные) части, чтобы в обеих частях оказались специалисты по всем 10 предметам?

Есть видеозапись лекции 18.2.2012 и лекции, прочитанной 29.3.2014:
1. «Система представителей: конкретный пример»;
2. «Системы представителей: постановка задачи»;
3. «Числа сочетаний»;
4. «Очевидные оценки сверху количества представителей»;
5. «Очевидные оценки снизу количества представителей»;
6. «Жадный алгоритм и оценка сверху».

Лекция 8 (226) 7.11.2009

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Пари для простаков

В пятом номере «Кванта» 1987 года в статье «Лучшее пари для простаков» рассказано о формуле Конвея, которая для любых двух разных слов A и B одинаковой длины, состоящих из букв О (орёл) и Р (решка), даёт вероятность выигрыша в придуманной в 1969 году Вальтером Пеннеем игре. Игра вот какая: бросают монетку и записывают результаты. Как только оказывается выписано слово A, победителем объявляют первого игрока, а если до этого успевает появиться слово B, то победителем объявляют второго игрока.

Удивительным образом, для каждого более чем двухбуквенного слова можно указать более выгодное слово такой же длины.

Кроме задачи Пеннея, была разобрана знаменитая задача о разорении и другие примеры.

Есть видеозапись лекции 2018-го года:
1. «Walter Penney. Двухбуквенные слова»;
2. «Самого выгодного трёхбуквенного слова нет»;
3. «Уравнения на вероятности: ОРО и ООР»;
4. «Начала моих выигрышей, начала Ваших, все неоконченные. РРО и РОО»;
5. «Марковские цепи (РРО и РОО)»;
6. «ООР и РОО по Конвею»;
7. «Марковская цепь для ООР и РОО»;
8. «Любое слово рано или поздно появится»;
9. «РООРОО и ООРООР»;
10. «Многочлены и формула Конвея»;
11. «Как выбрать наилучшее слово, побеждающее данное слово?»

Лекция 9 (227) 14.11.2009

Светлана Анатольевна БУРЛАК,

кандидат филологических наук, старший научный сотрудник Института востоковедения РАН и филологического факультета МГУ, член оргкомитета Московской олимпиады по лингвистике и математике, автор многих олимпиадных задач по лингвистике.

Самодостаточные лингвистические задачи

Лингвистику не проходят в школе, поэтому многие думают, что занимается она прежде всего теми правилами, которые в школе учат не нарушать. На самом деле главная задача лингвистики куда интереснее — описывать, как устроены самые разные языки. Даже самый неграмотный человек никогда не скажет «большая стол стоит в комнату», если русский язык для него родной. Почему? А, например, в английском языке прилагательные не изменяются, а существительные — только по числам. И таких законов много, для каждого языка — свои.

Лингвистическая задача даёт возможность некоторые из таких законов обнаружить очень быстро — на очень небольшом, специально подобранном материале. Задачи лингвистической олимпиады самодостаточны — это значит, что для их решения не нужны никакие специальные знания, достаточно лишь уметь чётко провести логическое рассуждение. В этом лингвистика похожа на математику: при описании языка требуется строго доказывать каждое предположение.

Были приведены примеры лингвистических задач, рассказано о методах их решения. Если нравится разбираться в устройстве языка — добро пожаловать на лингвистическую олимпиаду.

Лекция 10 (228) 21.11.2009

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Антисимметрические многочлены и числа сочетаний

Леонард Эйлер заметил, что если взять несколько разных чисел (например, 5, 7 и 8) и затем образовать дроби, в числителе каждой из которых стоит число 1, а знаменатель получен перемножением разностей одного из этих чисел с остальными (в нашем примере три возможных знаменателя: (5 – 7)(5 – 8), (7 – 5)(7 – 8) и (8 – 5)(8 – 7) то сумма таких дробей непременно равна нулю. Он смог доказать это наблюдение и некоторые аналогичные факты.

Во втором номере «Кванта» 1973 года опубликована статья Вагутена (псевдоним Н.Б. Васильева и В.Л. Гутенмахера) «Числа сочетаний, многочлены и последовательности», посвящённая частному случаю этой теоремы Эйлера (задаче М138). Были рассказаны три доказательства: сначала формула для чисел сочетаний была доказана при помощи оператора Δ взятия разности значений многочлена в соседних целых точках; затем было рассказано об интерполяционной формуле Лагранжа и из неё была выведена интересующая нас теорема Эйлера; наконец, было рассказано об антисимметрических многочленах, и теорема Эйлера была выведена при помощи них. Окончание лекции — 19 декабря 2009 года.

Есть видеозапись.

Лекция 11 (229) 28.11.2009

Евгений Яковлевич ГИК,

автор более 150 научно-популярных, занимательных, спортивных и шахматных книг (например, «Беседы о шахматах», «Интеллектуальные игры", «Политические головоломки», «Компьютерные шахматы»), член Союза писателей Москвы, выпускник мехмата МГУ, мастер спорта по шахматам, обладатель первого Кубка Москвы, ведущий рубрик журналов «Наука и жизнь» и «Квант», кандидат наук, автор около 100 научных работ по кибернетике.

Математика на шахматной доске

Постоянный ведущий «шахматной странички» журнала «Квант» накопил огромный материал, часть которого вошла в книгу «Математика на шахматной доске», первое издание которой вышло в 1976 году (недавно появилось новое расширенное издание, книга переведена на несколько языков).

Есть видеозапись части лекции.

Лекция 12 (230) 5.12.2009

Александр Владимирович БЕГУНЦ,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа мехмата МГУ.

Теорема Кантора-Бернштейна

Теорема Кантора-Бернштейна гласит: если в множестве A элементов не меньше, чем в множестве B (точнее говоря, если в множестве A существует подмножество, равномощное множеству B), а в множестве B элементов не меньше, чем в множестве A, то на самом деле элементов поровну, то есть существует биекция (взаимно-однозначное соответствие) между множествами A и B.

Эта теорема — одно из простейших и поэтому важнейших утверждений теории множеств. Для доказательства не требуется ничего, кроме внимания и ума. Тем интереснее проследить за всеми деталями рассуждений!

Лекция 13 (231) 12.12.2009

Тарас Павлович ЛУКАШЕНКО,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа мехмата МГУ, заслуженный деятель высшей школы, лауреат Ломоносовской премии за педагогическую деятельность.

Современный анализ функций и его применения

Был дан краткий исторический обзор исследований по теории функций (в частности, дано определение ряда Фурье) и рассказано про некоторые приложения к обработке сигналов и изображений.

Лекция 14 (232) 19.12.2009

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Антисимметрические многочлены и числа сочетаний (окончание)

Эта лекция — окончание лекции, прочитанной 21.11.2009. Было рассказано, как использовать для доказательства формулы о числах сочетаний индукцию (это в некотором смысле самое простое доказательство, оно требует только знания того, что такое числа сочетаний), производные (заодно — что такое производная многочлена!), степенные ряды (очень важен ряд для экспоненты!), разложение дроби на простейшие (это почти то же самое, что интерполяционная формула Лагранжа, однако полезно знать оба подхода!) и формулу включений-исключений.

Лекция 15 (233) 23.01.2010

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Числа Стирлинга и суммы степеней

Сумма квадратов (кубов, четвёртых степеней и так далее) первых n натуральных чисел может быть легко вычислена при помощи следующих разложений:

k² = k(k + 1) – k,
k³ = k(k + 1)(k + 2) – 3k(k + 1) + k,
k⁴ = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) – 6k(k + 1)(k + 2) + 7k(k + 1) – k.

Восходящие степени — то есть многочлены, первые четыре из которых суть k, k(k + 1), k(k + 1)(k + 2), k(k + 1)(k + 2)(k + 3) — тесно связаны с комбинаторикой. Для любого натуральных чисел n и k числом Стирлинга первого рода из n по k называют количество перестановок множества, состоящего из n элементов, в разложении которых на непересекающиеся циклы имеется ровно k циклов. Числом Стирлинга второго рода из n по k называют количество способов разбить n–элементное множество на k непустых подмножеств. Именно числа Стирлинга (которым была посвящена в 2006 году лекция №158) являются коэффициентами в формулах, связывающих между собой восходящие степени с обычными степенями.

Лекция 16 (234) 30.01.2010

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Рисунки Михаила Юрьевича Панова

Были показаны кривые дракона и полуправильные многогранники, великолепно нарисованные М.Ю. Пановым.

Лекция 17 (235) 6.02.2010

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Явная формула для чисел Каталана, или Треугольники Каталана и Паскаля

Последовательность Каталана 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, ... почти столь же знаменита, как и последовательность чисел Фибоначчи. Каждый следующий её член получается из предыдущих по правилу, которое легко понять, если прочитать следующую формулу:

Известно несколько доказательств явной формулы для этой последовательности: при помощи польской записи арифметических выражений, леммы об отражении, производящих функций. Их можно прочитать в третьем номере «Кванта» 2004 года. Во втором номере «Кванта» 2009 года опубликовано четвёртое доказательство, которое сообщил в 1838 году Ламэ в письме Лиувиллю.

Однако, эти доказательства явной формулы хотя и интересны сами себе, но, строго говоря, излишни! Достаточно сравнить треугольник Паскаля

с треугольником Каталана (этот треугольник образован по правилу, аналогичному правилу, по которому строят треугольник Паскаля; крайние слева числа треугольника Каталана образуют в точности последовательность Каталана)

Если ещё не догадались, посмотрите на эти два треугольника, изображённые вместе:

Числа Каталана — это разности чисел сочетаний! И никаких сложных доказательств не нужно. Конечно, совсем без рассуждений не обойтись: числа Каталана возникают более чем в ста разных комбинаторных задачах, о некоторых из которых будет рассказано на лекции; в частности, одна из интерпретаций чисел Каталана позволяет понять, как связана рекуррентная формула для этой последовательности с треугольником Каталана. Но это — очень простые и естественные рассуждения. Трудностей в выводе явной формулы для чисел Каталана, как видите, нет!

Лекция 18 (236) 13.02.2010

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Постулат Бертрана

На отрезке между любым натуральным числом n и числом 2n обязательно расположено хотя бы одно простое число. Доказательство этого факта было найдено в середине XIX века. Рассказу об этом и других свойствах простых чисел посвящена лекция.

Лекция 19 (237) 20.02.2010

Фёдор Константинович НИЛОВ,

студент II курса мехмата МГУ, победитель Всероссийских конференций школьников.

Биссектрисы четырёхугольника

Мы будем рассматривать биссектрисы внутренних и внешних углов четырёхугольника и докажем два красивых факта: теорему Штейнера и теорему Клаусона. Суть в том, что среди точек пересечения этих восьми биссектрис можно выделить такие четыре четвёрки точек, что точки каждой четвёрки лежат на одной окружности. Эти четыре окружности имеют общую ось центров и общую радикальную ось:

Ось центров и радикальная ось являются внутренней и внешней биссектрисами угла, под которым виден четырёхугольник из его точки Микеля:

Разумеется, что такое точка Микеля, тоже будет рассказано!

Лекция 20 (238) 6.03.2010

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Дерево Каталана

Огромное количество комбинаторных задач приводят к последовательности 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430,... Многие из этих задач, в том числе весьма трудные (если не пользоваться деревом Каталана), удаётся единообразно решить при помощи замечательной комбинарной конструкции — дерева Каталана. Будет показано много красивых рисунков. Лекция доступна всем школьникам.

Лекция 21 (239) 13.03.2010

Аркадий Борисович СКОПЕНКОВ,

доктор физико-математических наук, лауреат премии Московского Математического Общества 1997 года, премии Европейской Академии Наук 2005 года, обладатель медали Российской Академии Наук для молодых ученых 2003 года, стипендиат П. Делиня 2005 года, профессор механико-математического факультета Московского Государственного Университета, постоянный профессор и член Методической Комиссии Независимого Московского Университета, член Программного Комитета Московской Математической Конференции Школьников, в 1991-2005 - преподаватель школы-интерната имени А.Н. Колмогорова, в 1991-2003 годах — член жюри сначала Всесоюзной, затем Всероссийской математической олимпиады школьников, в 2003-2009 годах — научный руководитель команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду школьников.

Рождение понятия «группа» и лемма Бернсайда

Был предложен цикл задач, естественным образом подводящий к важному алгебраическому понятию «группа». Вычисления количеств раскрасок объектов, на которых действует та или иная группа, приводит к лемме Бернсайда.

Лекция 22 (240) 20.03.2010

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Множества счётные и несчётные

Существует ли естественный способ приписать каждой паре натуральных чисел некоторый номер этой пары так, чтобы каждому номеру соответствовала единственная пара? Можно ли пронумеровать при помощи натуральных чисел положительные рациональные числа? Можно ли перенумеровать натуральными числами все вещественные числа? На первые два вопроса ответ утвердительный. В одном случае достаточно знать формулу для суммы первых n натуральных чисел, во втором случае мы используем дерево Калкина-Вилфа и функцию, которая каждому натуральному числу сопоставляет количество его представлений в виде суммы (возможно, состоящей из единственного слагаемого) степеней двойки, никакая из которых не использована более чем дважды.

На третий вопрос ответ отрицательный. Это было доказано как при помощи диагонального метода Кантора, так и при помощи компактности отрезка.

Лекция 23 (241) 27.03.2010

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата, учитель школ №№ 1018 и 1543.

Покрытия полосками

Можно ли покрыть круг полосами, сумма ширин которых меньше диаметра круга? Вообще, можно ли выпуклую фигуру покрыть полосами, сумма ширин которых меньше ширины фигуры? Этот вопрос был задан Альфредом Тарским (1901—1983), а утвердительный ответ дал Трегер Банг. Доказательство изложено в статье М.В. Смурова и А.В. Спивака «Покрытия полосками» четвёртого и пятого номеров «Кванта» 1998 года.

Лекция 24 (242) 10.04.2010

Анатолий Тимофеевич ФОМЕНКО,

заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений мех-мата МГУ, академик РАН.

Гиперболическая геометрия: от Лобачевского до наших дней

Было рассказано об открытии Н.И. Лобачевским неевклидовой геометрии, о бурном её развитии, в том числе и в связи с астрофизическими теориями о геометрическом строении Вселенной. Сегодня многомерная, и в особенности трёхмерная, гиперболическая геометрия — очень популярный раздел математики. Лишь недавно был получен ответ на вопрос, каков наименьший объём трёхмерной компактной поверхности, несущей на себе геометрию Лобачевского. Эта удивительная поверхность была обнаружена при помощи компьютера и потом подробно исследована.

Лекция 25 (243) 17.04.2010

Юрий Валентинович НЕСТЕРЕНКО,

заведующий кафедрой теории чисел мех-мата МГУ, член-корреспондент РАН.

Вычисления и теория чисел

Теория чисел имеет своим предметом числа и их свойства. Поскольку она есть наука конкретная, многие её утверждения допускаютпрактическую проверку, в том числе и с помощью компьютеров. В теории чисел вычисляют давно и очень интенсивно. Всплеск интереса произошёл в последние 30 лет в связи с криптографическими приложениями. Потребности криптографии стимулировали исследования классических вопросов теории чисел, в ряде случаев привели к их решению, а также стали источником постановки новых фундаментальных проблем. Задачи, казавшиеся сугубо теоретическими, оказались имеющими большое практическое значение.

Лекция была посвящена рассказу об учебнике «Теория чисел», написанном Ю.В. Нестеренко.

Лекция 26 (244) 24.04.2010

Александр Юрьевич ОЛЬШАНСКИЙ,

профессор университета Вандербилт (США) и профессор мехмата МГУ, лауреат премии Московского Математического Общества и премии имени Мальцева Российской Академии Наук, автор статей для старших школьников в Соросовском Образовательном Журнале.

Плоские графы

Замкнутая кривая без самопересечений делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Это наглядно очевидное утверждение ведет к не столь очевидным следствиям, о некоторых из которых было рассказано: основное содержание лекции — теорема Эйлера о том, что количество рёбер плоского связного графа на 2 меньше суммы количества его вершин и количества областей, на которые распадается плоскость после удаления из неё вершин и рёбер графа.