МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (132) 1.10.2005

Александр Васильевич СПИВАК,

автор ряда статей журнала «Квант», преподаватель Малого мехмата, соросовский учитель школ №№ 17, 1018 и 1543.

Бесповторные последовательности

n-я буква слова Туэ — А или Б в зависимости от того, чётно или нечётно количество единиц двоичной записи числа n. Оказывается, в этом слове никакое подслово не появляется три раза подряд. При помощи слова Туэ легко построить слово в трёхбуквенном алфавите, которое не содержит не только трёх, но даже двух одинаковых подряд идущих подслов. Есть и другие — не использующие конструкцию Акселя Туэ — способы построения бесквадратных слов (для алфавитов, состоящих более чем из двух букв).

Прочитать о бесповторных последовательностях можно в энциклопедии «Числа и фигуры» издательства «Росмэн».

Есть видео.

Лекция 2 (133) 8.10.2005

Семеон Антонович БОГАТЫЙ,

профессор механико-математического факультета МГУ.

Вокруг неравенства Эйлера

Лекция посвящена неравенству Эйлера: диаметр вписанной окружности 2r произвольного треугольника не превосходит радиуса R описанной окружности, и различным его усилениям. В 1765 году Леонард Эйлер выразил основные элементы треугольника и расстояния между основными точками треугольника через его стороны. Из полученных им формул для радиусов r и R вписанной и описанной окружностей и расстояния d между их центрами вытекает, что d² = R² - 2rR.

Эту формулу независимо получил в 1746 году Чаппл при решении следующей задачи: «При каких условиях на две заданные окружности существует треугольник, вписанный в первую окружность и описанный вокруг второй?» Ответ даёт формула Эйлера, из который следует, в частности, упомянутое неравенство Эйлера.

Неравенство Эйлера часто формулируют в более сильной форме, когда между 2r и R вставляют некоторые выражения от различных элементов треугольника. Наиболее известным является следующий вариант: для всякого треугольника ABC, длины сторон которого a, b, c, справедлива цепочка неравенств 2(3)^1/2r < (abc)^1/3 < (a+b+c)/3 < (3)^1/2R.

Лекция 3 (134) 15.10.2005

Александр Николаевич КАРПОВ,

кандидат физико-математических наук, заместитель директора Малого мехмата, ассистент кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ, преподаватель математики лицея «Вторая школа» и школы №17.

Радикальная ось

Было рассказано о радикальной оси двух неконцентрических окружностей и радикальном центре трёх окружностей, центры которых не лежат на одной прямой. Построенная теория применена к решению ряда геометрических задач. Сформулирована теорема, обобщающая теорему о радикальном центре на случай кривых второго порядка на комплексной проективной плоскости.

Лекция 4 (135) 22.10.2005

Александр Ханевич ШЕНЬ,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН, учитель школы номер 57.

Игры с полной информацией

Было объяснено, что такое игра с полной информацией (к числу таких игр относятся, например, шашки и шахматы, но не футбол), и почему в таких играх существуют оптимальные стратегии.

Есть брошюра «Игры и стратегии с точки зрения математики».

Лекция 5 (136) 29.10.2005

Александр Николаевич КАРПОВ,

кандидат физико-математических наук, заместитель директора Малого мехмата, ассистент кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ, преподаватель математики лицея «Вторая школа» и школы №17.

Теорема Фейербаха

Было изложено доказательство одной из самых замечательных геометрических теорем — теоремы Фейербаха. Она утверждает, что окружность девяти точек любого треугольника касается его вписанной и всех трёх вневписанных окружностей. (В любом треугольнике середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности — окружности девяти точек данного треугольника.)

Лекция 6 (137) 12.11.2005

Михаил Александрович ЕВДОКИМОВ,

член жюри соросовской, Московской, Всероссийской олимпиад, олимпиады мехмата МГУ, автор книги «От задачек к задачам» (М.: МЦНМО, 2004).

«От задачек к задачам»

Были разобраны следующие задачи:
1) В центре квадратного поля находится волк, а в вершинах квадрата — четыре собаки. Волк может бегать по всему полю, а собаки — только по его сторонам. Волк задирает собаку, а две собаки задирают волка. Максимальная скорость каждой собаки в полтора раза больше максимальной скорости волка. Могут ли собаки не выпустить волка за пределы поля?
2) Торт, имеющий форму правильного многоугольника, разрезали по всем диагоналям на маленькие кусочки. Мог ли среди них оказаться кусочек, имеющий форму правильного а) треугольника; б) шестиугольника?
3) Можно ли клетчатый прямоугольник размером 5×7 покрыть уголками из трёх клеток так, чтобы все клетки были покрыты в одинаковое число слоёв?
4) Точки пересечения прямых x + 2y = 19 и 2x + y = 98 с гиперболой xy = 1 лежат на одной окружности. Докажите это.
5) Можно ли в сферу вписать невыпуклый многогранник?

Лекция 7 (138) 19.11.2005

Александр Васильевич СПИВАК,

учитель школ 17, 1018 и 1543.

Числа Каталана

Издательство «Росмэн» издало энциклопедию для школьников, составленную А.В. Спиваком. Одна из статей посвящена числам Каталана. Больше десяти разных определений этих чисел проиллюстрировал, как и всю энциклопедию, М.Ю. Панов.

Лекция 8 (139) 26.11.2005

Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,

доктор физико-математических наук, сотрудник кафедры математической статистики механико-математического факультета МГУ.

Системы представителей

Представим себе такую ситуацию. В некоторую организацию одновременно приехали с визитом несколько иностранцев — скажем, англичанин, француз, японец и венгр. Каждый из них умеет говорить только на своем родном языке. Желая должным образом принять гостя, организация стремится послать на встречу с ним одного из своих сотрудников, который бы владел соответствующим языком и, тем самым, помог визитёру сориентироваться в незнакомом городе (на наёмных переводчиков денег жалко). Допустим, нашлись как сотрудники, знающие английский, так и сотрудники, говорящие по-венгерски, и так далее. Однако организация не хочет отрывать слишком много людей от работы и пытается минимизировать количество сотрудников, командируемых на общение с иностранцами. Ведь могут же найтись и такие полиглоты в её рядах, которые одновременно владеют английским и японским или, и того больше, французским, японским и венгерским? Глядишь, приставит организация одного человека сразу к троим посетителям, и проблем станет меньше?

В общем случае поставленная задача весьма нетривиальна. Иногда её называют задачей о системах представителей, что вполне естественно. Она нашла многочисленные применения в математике. (Умение решать её позволяет даже повысить вероятность выигрыша в некоторых лотереях!)

Есть видео.

Лекция 9 (140) 3.12.2005

Дмитрий Евгеньевич КОСОВ,

студент 3 курса механико-математического факультета МГУ.

Векторы на плоскости и в пространстве

Определение, основные понятия, примеры задач. Координаты и скалярное произведение.

Лекция 10 (141) 10.12.2005

Михаил Александрович ЕВДОКИМОВ,

член жюри соросовской, Московской, Всероссийской олимпиад, олимпиады мехмата МГУ, автор книги «От задачек к задачам» (М.: МЦНМО, 2004).

Математика и финансы

Было рассказано о математических задачах, связанных с финансами.

Лекция 11 (142) 17.12.2005

Александр Васильевич СПИВАК,

учитель школ №№ 17, 1018 и 1543.

Задачник «Кванта»

В удобном для использования виде представлены первые 2205 задач, которые с 1970 года публикует журнал «Квант».

Лекция 12 (143) 11.02.2006

Александр Васильевич СПИВАК,

учитель школ №№ 17, 1018 и 1543.

Критерий Куратовского планарности графа

Невозможно расположить на плоскости 5 точек и соединить каждую из них с каждой другой ломаными так, чтобы ломаные не имели ни одной общей точки кроме данных пяти точек. Невозможно расположить на плоскости 6 точек и соединить каждую из первых трёх из них с каждой из трёх остальных так, чтобы ломаные не имели ни одной общей точки кроме данных шести точек.

Теорема Куратовского утверждает, что этими двумя примерами по сути исчерпывается список препятствий к планарности графа: любой непланарный граф содержит подграф, гомеоморфный одному из этих двух графов. Многие годы доказательство этой теоремы считалось очень трудным. Однако А.Б. Скопенков сумел изложить доказательство настолько просто, что теперь оно стало доступно заинтересованному школьнику.

Есть видео.

Лекция 13 (144) 18.02.2006

Александр Васильевич СПИВАК,

учитель школ №№ 17, 1018 и 1543.

Турнир имени А.П. Савина

В качестве приложения к журналу «Квант» вышел сборник 450 задач избранных задач турнира «Математика 6-8» журнала «Квант». Большинство задач снабжены подробными решениями или указаниями.

Лекция 14 (145) 4.03.2006

Александр Васильевич СПИВАК,

учитель школ №№ 17, 1018 и 1543.

Малая теорема Ферма

Для любого простого числа p и любого целого числа a разность a^p - a делится на p.

Доказательство этой теоремы и многочисленные следствия из неё можно прочесть в статье В.А. Сендерова и А.В. Спивака в энциклопедии «Числа и фигуры» издательства «Росмэн» или в журнале «Квант» (номера 1, 3 и 4 за 2000 год).

Лекция 15 (146) 11.03.2006

Александр Васильевич СПИВАК,

учитель школ №№ 17, 1018 и 1543.

Порядок числа по модулю. Первообразные корни

Эта лекция — продолжение предыдущей. С её содержанием можно ознакомиться по «Арифметике» А.В. Спивака.

Лекция 16 (147) 18.03.2006

Александр Васильевич СПИВАК,

учитель школ №№ 17, 1018 и 1543.

Цепные дроби

Лекция посвящена рассказу об одноимённой статье энциклопедии «Числа и фигуры» издательства «Росмэн».

Лекция 17 (148) 1.04.2006

Ярослав Александрович Абрамов,

студент мехмата МГУ.

Квадратичный закон взаимности

Квадратичный вычет по простому нечётному модулю p — это класс вычетов любого квадрата, не делящегося на p. Например, по модулю 3 квадратичным вычетом является 1, а невычетом — число 2. А по модулю 19 вычетами являются 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16 и 17, а невычетами — 2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15 и 18.

Лекция 18 (149) 8.04.2006

Александр Николаевич КАРПОВ,

кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры общей топологии механико-математического факультета МГУ, заместитель директора Малого мехмата, учитель лицея № 2 и школы № 17.

Основная теорема алгебры

Основная теорема учения о комплексных числах гласит: поле комплексных чисел алгебраически замкнуто: то есть каждый многочлен, отличный от константы, имеет хотя бы один комплексный корень и поэтому, в силу теоремы Безу, разлагается на линейные множители. Одно из естественных и красивых доказательств этой теоремы известно под названием «дама с собачкой».

Лекция 19 (150) 15.04.2006

Александр Ханевич ШЕНЬ,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН, учитель школы номер 57.

Логическая строгость и школьная математика

«Я вам сейчас докажу математически» — говорят герои Достоевского, имея при этом в виду, что доказательство будет неопровержимым: математики гордятся строгостью своих доказательств. В целом на это они имеют право, но в рамках школьного курса немало «мусора» заметается «под ковёр». Например, синус угла величиной 750 градусов равен 1/2. Но что это за угол? Подобные каверзные вопросы были обсуждены на лекции.

Вышедшая в издательстве МЦНМО в 2006 году 72-страничная брошюра «О «математической строгости» в преподавании математики» весьма содержательна. Советую прочитать её всем школьникам и учителям, в том числе тем, кто думает, что уверенно ориентируется в школьном курсе математики: их ожидают сюрпризы.