МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 2.10.1999

Николай Петрович ДОЛБИЛИН,

старший научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова, доцент мехмата МГУ, член редколлегии журнала «Квант».

Жёсткость выпуклого многогранника

Теорема Коши утверждает, что любые два выпуклых многогранника, которые одинаково составлены из соответственно конгруэнтных граней, конгруэнтны. В частности, выпуклый многогранник не деформируется, является жёстким.

Один из крупнейших геометров ХХ века академик А.Д. Александров писал, что метод, которым Коши доказал свою теорему, представляет собой одно из прекраснейших рассуждений, какие только знает геометрия...

Вышла брошюра: Н.П. Долбилин, «Жемчужины теории многогранников», выпуск 5 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Познакомиться с доказательством теоремы Коши можно по книге «Доказательства из КНИГИ. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней» М. Айгнера и Г. Циглера, перевод которой на русский язык опубликован в 2006 году издательством «Мир».

Лекция 2 9.10.1999

Михаил Львович ГЕРВЕР,

доктор физико-математических наук.

Числа Каталана и их применение в (3n + 1)-проблеме

• Дан выпуклый (n + 2)-угольник. Разобьём его диагоналями на n треугольников. Сколькими способами это можно сделать?
• Даны 2n точек на окружности. Разобьём эти точки на n пар так, чтобы соединяющие их n хорд не пересекались друг с другом. Сколькими способами это можно сделать?
• Сколькими способами можно правильно расставить n + 1 открывающих и n + 1 закрывающих скобок?

Эти и ряд других интересных задач приводят к числам Каталана C_n. Было рассказано о числах C_n и о попытке их применения в (3n + 1)-проблеме — знаменитой задаче, которую можно сформулировать за минуту и которую не могут решить уже более 70 лет.

Лекция 3 16.10.1999

Александр Ханевич ШЕНЬ,

старший научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН, учитель школы № 57.

Программирование с точки зрения математика

Традиционно считается, что программирование — важная, нужная, иногда высокооплачиваемая, но скучная деятельность. На самом деле это не так: в программировании есть интересные математические задачи и красивые решения. Например, оценка сложности алгоритма, поиск наибольшего элемента, сортировка, задача о «представителе большинства», доказательствa правильности программ, инварианты, задача о возведении в степень.

Было рассказано о том, что могут и что не могут делать вычислительные машины, а также об одной из труднейших нерешённых задач — проблеме P =(?) NP.

Опубликована книга «Программирование: теоремы и задачи».

Лекция 4 23.10.1999

Андрей Андреевич БОЛИБРУХ,

академик РАН, директор математического института имени В.А. Стеклова.

Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

Знаменитые проблемы, сформулированные Давидом Гильбертом (1862–1943) на Парижском международном математическом конгрессе 1900-го года, оказали определяющее влияние на развитие математики XX века. Одна из целей лекции — показать, что некоторые известные и довольно сложные математические проблемы вполне естественны, так что даже старшеклассник может понять причины появления этих проблем и их формулировки.

Вышла брошюра: А.А. Болибрух, «Проблемы Гильберта (100 лет спустя)», выпуск 2 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 5 30.10.1999

Владимир Михайлович ТИХОМИРОВ,

профессор кафедры общих проблем управления мехмата МГУ, заместитель главного редактора журнала «Квант», автор книги «Рассказы о максимумах и минимумах».

Великие математики прошлого и их великие теоремы

Было рассказано о высших математических достижениях Архимеда (III век до н.э.), Пьера Ферма (1601–1665), Леонарда Эйлера (1707–1783), Жозефа Луи Лагранжа (1736–1813) и Карла Фридриха Гаусса (1777–1855).

Такими достижениями являются: формула объёма шара, равенство e^πi = –1, представимость простого числа вида 4n + 1 в виде суммы двух квадратов и представимость любого натурального числа в виде суммы четырёх квадратов, а также построение правильного 17-угольника циркулем и линейкой.

Некоторые из этих и других великих теорем были даны с полными доказательствами, а некоторые — только сформулированы.

Вышла брошюра: В.М. Тихомиров, «Великие математики прошлого и их великие теоремы», выпуск 1 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 6 6.11.1999

Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ,

преподаватель Независимого московского университета, автор книги «Задачи по планиметрии» и других книг и статей.

Точки Брокара и изогональное сопряжение

Первая точка Брокара треугольника ABC — это такая точка P, для которой углы PAC, PCB, PBA равны; вторая точки Брокара — это точка Q, для которой равны углы QAB, QCA и QBC. В любом треугольнике есть одна первая и одна вторая точки Брокара.

Точки X и Y изогонально сопряжены относительно треугольника A₁A₂A₃, если каждая прямая YA_m (где m = 1, 2, 3) симметрична прямой XA_m относительно биссектрисы угла A_m. Например, первая и вторая точки Брокара треугольника A₁A₂A₃ изогонально сопряжены.

Вышла брошюра: В.В. Прасолов, «Точки Брокара и изогональное сопряжение», выпуск 4 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 7 13.11.1999

Игорь Федорович ШАРЫГИН,

автор многих книг и статей по геометрии и элементарной математике.

Избранные задачи Соросовских олимпиад

Соросовские олимпиады по математике, физике, химии и биологии проходили в 1994–2000 годах. Лектор возглавлял комиссию по математике.

Лекция 8 27.11.1999

Владимир Николаевич ЧУБАРИКОВ,

профессор кафедры математического анализа мехмата МГУ.

Арифметика, алгоритмы и сложность вычислений

Целые числа можно рассматривать как с точки зрения их абсолютной величины, так и с точки зрения их делимости на степени фиксированного простого числа (p–адические числа).

Эти свойства применяют в диофантовых уравнениях, теории приближений чисел, геометрии чисел и так далее. Были упомянуты некоторые «быстрые» вычислительные алгоритмы и введённое А.Н. Колмогоровым понятие сложности выполнения арифметических операций.

Были сформулированы некоторые нерешённые задачи теории чисел, которые поставили Хуа Ло-кен, И.М. Виноградов, К. Малер, К. Зигель, А. Сельберг и другие.

Лекция 9 4.12.1999

Анатолий Александрович ЧАСОВСКИХ,

доцент кафедры математической теории интеллектуальных систем мехмата МГУ.

Где используют графы?

Теория графов — одна из самых красивых и наглядных математических теорий. Многие математические факты удобно формулировать на языке графов. В последнее время теория графов находит всё больше применений и в прикладных вопросах. Об этих применениях и шла речь.

О классических приложениях теории плоских графов, «прямоугольной» задаче Штейнера (построении минимальной сети, соединяющей данные точки между собой), об устройстве интегральных схем, о том, как машину обучают распознаванию образов. Была обсуждена сложность алгоритма, распознающего изоморфизм графов, а также упомянуты другие труднорешаемые задачи.

Лекция 10 11.12.1999

Игорь Николаевич СЕРГЕЕВ,

доцент кафедры дифференциальных уравнений мехмата МГУ.

Экстраординарные методы решения элементарных задач

Было рассказано о некоторых мощных, но малоизвестных приёмах решения задач элементарной математики. Сами приёмы, хотя и совершенно правильные, на первый взгляд могут показаться абсурдными (не всякий учитель согласится признать их верными в контрольной работе своего ученика!). Использование этих методов позволяет упростить решения многих задач.

Речь шла о методе интервалов, об экзотических равносильных преобразованиях, свойствах тригонометрического круга и геометрических преобразованиях. Лекция была адресована в основном будущим абитуриентам.

Лекция 11 18.12.1999

Алексей Александрович ЗАСЛАВСКИЙ,

научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН, учитель гимназии № 1543.

Теорема Эрроу и нетранзитивные круговые турниры

Существует ли идеальная избирательная система? Можно ли наилучшим образом выбрать квартиру или место работы? Неожиданный ответ на эти и другие вопросы даёт теорема о необходимости диктатора, сформулированная и доказанная американским математиком К. Эрроу. За этот фундаментальный результат он в 1972 году получил Нобелевскую премию по экономике.

Шла речь и о причинах возникновения в спортивных турнирах нетранзитивных ситуаций (когда А побеждает В, В побеждает С, а С побеждает А).

Лекция 12 12.02.2000

Ирина Михайловна ПАРАМОНОВА,

кандидат физико-математических наук, преподаватель Независимого московского университета.

Симметрия в математике

Было рассказано о том, что понимают под симметрией в современной математике и как симметрия помогает решать самые разные задачи. В частности, что такое группа преобразований и её инварианты, что такое абстрактная группа и почему это понятие очень важно для всей математики.

Вышла брошюра: И.М. Парамонова, «Симметрия в математике», выпуск 7 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 13 19.02.2000

Вадим Олегович БУГАЕНКО,

кандидат физико-математических наук, доцент университета дружбы народов имени Патриса Лумумбы, составитель сборника задач турниров имени М.В. Ломоносова, преподаватель Независимого московского университета.

Уравнения Пелля

Уравнения Пелля представляют собой класс диофантовых уравнений второй степени и связаны со многими важными задачами теории чисел. Их решение — непростая задача, хотя и выполнимая методами элементарной математики. Ключевую роль играла лемма Минковского о выпуклом теле — яркий пример связи алгебры и геометрии. Основная цель лекции — описание решений уравнений Пелля.

Вышла брошюра: В.О. Бугаенко, «Уравнения Пелля», выпуск 13 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 14 26.02.2000

Борис Сергеевич СТЕЧКИН,

академик Российской Академии Космонавтики.

Некоторые свойства простых чисел

Были изложены некоторые широко известные свойства простых чисел.

С содержанием лекции можно ознакомиться по статье «Некоторые наблюдения над простыми числами», опубликованной в шестом номере «Кванта» за 2003 год.

Лекция 15 4.03.2000

Валерий Васильевич ВАВИЛОВ,

доцент МГУ им. М.В. Ломоносова.

Задачи на клетчатой бумаге

Легко доказать, что квадрат является единственным правильным многоугольником, вершины которого — узлы клетчатой бумаги (точки с целыми координатами на плоскости). Сложнее ответить на вопрос, какие равносторонние (или равноугольные) многоугольники можно так разместить, чтобы их вершины оказались в узлах.

Сто лет назад немецкий математик Георг Пик обнаружил замечательную формулу для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги. На лекции была показана связь формулы Пика со знаменитой формулой Эйлера, связывающей количества вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника.

Расширенный текст лекции опубликован в 2006 году издательством МЦНМО в виде 72-страничной брошюры «Многоугольники на решётках» (в соавторстве c  А.В. Устиновым) и в виде серии статей журнала «Квант»: «Окружности на решётках» шестого номера 2006 года, «Полуправильные многоугольники на решётках» шестого номера 2007 года и «Две знаменитые формулы» второго номера 2008 года.

Лекция 16 11.03.2000

Юрий Николаевич ТЮРИН,

профессор мехмата МГУ.

Что такое математическая статистика?

Было рассказано о случайных явлениях и о статистической устойчивости, которую они проявляют; о научных открытиях, сделанных статистическими средствами, среди которых закон Хаббла о расширении Вселенной; о математических моделях, принятых для изучения случайностей; о способах измерения вероятностей событий и других характеристик случайных явлений; о статистических методах проверки гипотез.

Лекция 17 18.03.2000

Виктор Валентинович ОСТРИК,

аспирант Независимого московского университета.

Площади прямоугольных треугольников и эллиптические кривые

Речь шла о пифагоровых тройках, нормальной форме Вейершрасса для уравнения третьего порядка, о сложении точек эллиптической кривой, теореме Морделла и многих других важных и интересных понятиях и теоремах арифметики и алгебры. Один из вопросов — какие числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с целыми сторонами? При всей простоте постановки этого вопроса ответ на него неизвестен. Точнее, есть удивительный критерий Таннелла, справедливость которого не доказана.

Вышла брошюра: В.В. Острик, М.А. Цфасман, «Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые», выпуск 8 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».

Лекция 18 1.04.2000

Юлий Сергеевич ИЛЬЯШЕНКО,

профессор, ректор Независимого московского университета, вице-президент Московского математического общества.

Индекс векторного поля и основная теорема алгебры

Индекс векторного поля — одно из первых понятий топологии (науки о геометрических свойствах фигур, сохраняющихся, если на них смотреть в кривое зеркало или сделать их из резины).

Было рассказано, что такое индекс, с его помощью была доказана основная теорема алгебры, утверждающая, что каждый многочлен имеет хотя бы один комплексный корень. О комплексных числах тоже было рассказано. В заключение была объяснена связь индекса с эйлеровой характеристикой поверхности.

Лекция 19 8.04.2000

Иван Валерьевич ЯЩЕНКО,

директор МЦНМО, учитель школы № 57.

Парадоксы теории множеств

При развитии теории множеств, на которой базируется вся современная математика, возникали парадоксы. Например, парадокс брадобрея: «Бреет ли себя тот брадобрей, который бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет?»

Было рассказано, как теория множеств обходится с подобными cитуациями, а также о других парадоксах, в том числе возникающих при рассмотрении аксиомы выбора.

Вышла брошюра: И.В. Ященко, «Парадоксы теории множеств», выпуск 20 серии «Библиотека "Математическое просвещение"».