МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (339) 20.09.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Дерево Фарея-Штерна-Броко

На летней школе в Авейро (Португалия) Николай Германович Мощевитин в августе 2014 года прочитал курс лекций по арифметике: ряды Фарея, дерево Фарея, функция Эйлера, функция Мёбиуса, функция Минковского и ещё несколько тем, которые не войдут в эту лекцию. Не бойтесь, все всё поймут, достаточно знать обыкновенные дроби. А когда станете студентами, узнаете об этих деревьях и функциях ещё больше!

Есть видеозапись курса Н.Г. Мощевитина.

Лекция 2 (340) 27.09.2014

Александр Владимирович ЗАСОВ,

профессор кафедры астрофизики и звёздной астрономии Физфака МГУ и ГАИШ МГУ, один из организаторов ежегодных Всероссийских олимпиад по астрономии и космической физике, член редколлегии журнала «Физика в школе».

Астрономия

Чему равно расстояние от Земли до Солнца, по какой траектории Луна движется вокруг Солнца, чему равна суммарная масса вещества наблюдаемой Вселенной? Какова точность современных телескопов, что такое адаптивная оптика, как движутся звёзды в центре нашей Галактики? Когда взорвётся Бетельгейзе?

Смотрите ppt-файл. Есть видеозаписи этой лекции и курса, прочитанного летом 2014 года в ГАИШ.

Лекция 3 (341) 4.10.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Задачи по геометрии

Издательство МЦНМО опубликовало книгу А.Х. Шеня «Геометрия в задачах». Она весьма доступна и очень полезна для всех школьников.

Есть видеозапись курса А.Х. Шеня.

Лекция 4 (342) 11.10.2014

Игорь Николаевич СЕРГЕЕВ,

профессор механико-математического факультета МГУ.

Развитие математики: от элементарной к высшей

О структуре математики, её истории и логике развития. Прослежено взаимодействие различных разделов математики и их плодотворное влияние друг на друга. Проводится зыбкая граница между элементарной и высшей математикой. Обсуждаются многочисленные приложения математики и её связи с другими науками: механикой, информатикой, физикой, биологией, экономикой и так далее.

Лекция 5 (343) 18.10.2014

Сергей Владимирович ДВОРЯНИНОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент, автор статей журналов «Квант», «Потенциал», «Фрактал», «Математическое образование», «Математика в школе», «Математика для школьников», «Физика для школьников», «Математика», «Квантик».

Функции, кривые и поверхности

Любые две параболы гомотетичны. Функции нескольких переменных.

Есть видеозапись:
6. «Гомотетичность парабол»;
6. «Конус, параболоид, максимум, минимум, седловая точка».

Лекция 6 (344) 25.10.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Брюссельская капуста и другие применения формулы Эйлера

Поставим на плоскости несколько точек и из каждой из них нарисуем несколько ростков. Затем некоторые две ростка продолжим до слияния и из точки слияния выпустим два ростка перпендикулярно полученной линии в разные стороны от неё. Пересекать ранее проведённые линии нельзя. Количество ростков не меняется: два ростка, сливаясь, превращаются в два других ростка. Насколько долго продлится такая игра? Оказывается, количество операций зависит только от исходной конфигурации. Для доказательства потребуется формула Эйлера, связывающая между собой количества вершин и рёбер нарисованного на плоскости графа с количеством областей, на которые он разбивает плоскость.

Было рассказано и о некоторых других применениях формулы Эйлера. Например, почему нельзя нарисовать на плоскости граф, из каждой вершины которого выходит 6 или более рёбер. И почему любую географическую карту можно покрасить 5 красками. (На самом деле достаточно 4 красок, но это совсем другой уровень сложности.)

Есть видеозапись: «Брюссельская капуста».

Лекция 7 (345) 1.11.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Параболы, эллипсы и гиперболы

Подробный рассказ о кривых второго порядка.

Лекция 8 (346) 8.11.2014

Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,

доктор физико-математических наук.

Комбинаторика

На факультете инноваций и высоких технологий МФТИ из года в год А.М. Райгородский читает для первокурсников «Основы комбинаторики и теории чисел». Некоторая его часть недавно была переработана в интернет-курс. Лекция посвящена нескольким ярким сюжетам из этого курса.

Есть видеозапись:
1. «Раскраски гиперграфов»;
2. «Функция и формула обращения Мёбиуса».

Лекция 9 (347) 15.11.2014

Михаил Юрьевич ПОПЕЛЕНСКИЙ,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории управления и навигации,помощник декана механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова по программам магистратуры.

Робототехника — междисциплинарная наука

Приведём цитату из книги Джона Крейга «Введение в робототехнику»:«В основе робототехнических исследований лежит желание синтезировать часть функций человека с помощью механизмов, сенсоров, приводов и компьютеров. Чтобы осуществить этот грандиозный замысел, необходимо реализовать множество идей из нескольких «классических» областей. В настоящее время робототехническими исследованиями занимаются самые разные специалисты. Один человек не в состоянии охватить всю область исследований роботов, поэтому разумно их разделять. На относительно высоком уровне абстракции робототехнику можно поделить на четыре основные области: механическая манипуляция, передвижение, машинное зрение и искусственный интеллект.»

Активное развитие робототехники в последние годы вызвано прогрессом микроэлектроники и доступностью элементной базы как для обучения робототехнике, так и для мелкосерийного производства робототехнических устройств. На лекции будет рассказано об истории развития робототехники, современных достижениях, нерешённых задачах и перспективах.

Лекция 10 (348) 22.11.2014

Дмитрий Николаевич БАБИН,

доктор физико-математических наук, доцент кафедры математической теории интеллектуальных систем мехмата МГУ.

Автоматы в лабиринте

Рассматриваем задачу обхода лабиринта разными устройствами: без памяти, с памятью, с внешней памятью. Естественно возникают понятия конечного автомата и машины Тьюринга.

Есть видеозапись.

Лекция 11 (349) 29.11.2014

Валерий Егорович ПЛИСКО,

кандидат физико-математических наук, доцент мехмата МГУ, автор учебных пособий «Вводный курс математической логики», «Теория алгоритмов», «Интуиционистская логика», «Математическая логика и теория алгоритмов».

Конструктивная логика

Математики давно различают конструктивные и неконструктивные доказательства. Конструктивное доказательство теоремы существования даёт конкретный пример объекта, существование которого утверждается. Идея конструктивности лежит в основе так называемой интуиционистской математики и логики. В докладе проводится сравнительный анализ основных понятий классической и интуиционистской логик и методов их исследования. Излагаются начальные представления о конструктивной математике и логике, в которых идеи интуиционизма уточняются в терминах теории алгоритмов.

Есть видеозапись:
1. «Возведение иррационального числа в иррациональную степень»;
2. «Основания математики: множества»;
3. «Парадокс Рассела»;
4. «Интуиционизм»;
5. «Вещественные числа и интуиционизм»;
6. «Аксиомы и правило вывода классической логики высказываний»;
7. «Исчисление Колмогорова. Интуиционистское исчисление. Не высказывания, а задачи!»;
8. «Модель интуиционистского исчисления высказываний»;
9. «"Интуиционистская логика" В.Е. Плиско и В.Х. Хаханяна»;
10. «Интуиционистское исчисление высказываний (напоминание и пример вывода)»;
11. «Вывод из гипотез и другие способы построения выводов»;
12. «Модели Крипке»;
13. «Доказательства невыводимости при помощи моделей Крипке»;
14. «Теорема Гливенко»;
15. «Интуиционистское исчисление предикатов»;
16. «Модели Крипке и предикаты»;
17. «Конструктивная семантика».

Лекция 12 (350) 6.12.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Параболы, эллипсы и гиперболы

Подробный рассказ о кривых второго порядка. (Продолжение лекции 1.11.2014.)

Смотрите иллюстрации Михаила Юрьевича Панова.

Есть видеозапись:
1. «Определения и оптические свойства параболы, эллипса, гиперболы»;
2. «Алгебра и точки, из которых парабола видна под прямым углом»;
3. «Спящие и бодрствующие, или О судьбе числа 146»;
4. «Алгебра и точки, из которых эллипс виден под прямым углом»;
5. «Геометрия и точки, из которых эллипс виден под прямым углом»;
6. «Геометрическое определение оптического свойства параболы»;
7. «Из точек директрисы парабола видна под прямым углом?»;
8. «Огибающие».

Лекция 13 (351) 13.12.2014

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Кеплер и винные бочки, австрийские и рейнские

Рассказ об истории и первых шагах математического анализа.

Есть видеозапись:
1. «Колмогоров, Фейнман, Зайцев, Фихтенгольц»;
2. «Тихомиров, два предисловия и производная в точке максимума»;
3. «При помощи производной»;
4. «Замена переменной»;
5. «Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом»;
6. «Доказательство неравенства о средних для трёх чисел»;
7. «Рейнские бочки».

Лекция 14 (352) 20.12.2014

Светлана Анатольевна БУРЛАК,

доктор филологических наук, старший научный сотрудник Института востоковедения РАН и филологического факультета МГУ, член оргкомитета Московской олимпиады по лингвистике и математике, автор многих олимпиадных задач по лингвистике.

Самодостаточные лингвистические задачи

Лингвистику не проходят в школе, поэтому многие думают, что занимается она прежде всего теми правилами, которые в школе учат не нарушать. На самом деле главная задача лингвистики куда интереснее — описывать, как устроены самые разные языки. Даже самый неграмотный человек никогда не скажет «большая стол стоит в комнату», если русский язык для него родной. Почему? А, например, в английском языке прилагательные не изменяются, а существительные — только по числам. И таких законов много, для каждого языка — свои.

Лингвистическая задача даёт возможность некоторые из таких законов обнаружить очень быстро — на очень небольшом, специально подобранном материале. Задачи лингвистической олимпиады самодостаточны — это значит, что для их решения не нужны никакие специальные знания, достаточно лишь уметь чётко провести логическое рассуждение. В этом лингвистика похожа на математику: при описании языка требуется строго доказывать каждое предположение.

Вот условия рассмотренных на лекции задач.

Есть видеозапись:
0. «Лингвистика — наука о языках»;
1. «Латышский язык»;
2. «Сербский и русский языки»;
3. «Химические названия углеводородов»;
4. «Китайский язык»;
5. «Русский язык (предлог ПО)»;
6. «Могольские числительные»;
8. «Воровская феня (числительные)»;
9. «Адыгейский язык (местоимения)».

Лекция 15 (353) 7.02.2015

Сергей Владимирович ДВОРЯНИНОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент, автор статей журналов «Квант», «Потенциал», «Фрактал», «Математическое образование», «Математика в школе», «Математика для школьников», «Физика для школьников», «Математика», «Квантик».

Гармонический ряд: жук, кирпичи, утка с лисой и причаливание

Была разобрана классическая задача на преследование и убегание: умеющая взлетать только с суши утка плавает по озеру, по берегу которого бегает лиса. Продемонстрирована связь с важной (не только в космонавтике!) задачей о причаливании с нулевой скоростью.

Другая часть этой лекции прозвучала 14.03.2015.

Есть видеозапись:
1. «Расходимость гармонического ряда»;
2. «По реке или по озеру?»;
3. «Двигаясь быстрее, потратим меньше времени»;
4. «Бесконечно долгое причаливание»;
5. «Сходящийся ряд»;
6. «Конечность времени причаливания»;
7. «Контрольный вопрос»;
11. «Утка и лиса»;
12. «Утка, лиса и причаливание».

Лекция 16 (354) 14.02.2015

Виктор Анатольевич ВАСИЛЬЕВ,

академик, президент Московского математического общества.

Геометрия дискриминанта

Квадратные трёхчлены x² + ax + b образуют двупараметрическое семейство: каждому из них соответствует точка плоскости с координатами (a;b). Дискриминантное условие a² = 4b можно рассматривать как уравнение кривой, разделяющей точки этой плоскости, соответствующие полиномам с разным числом корней. Такие же условия и аналогичные (но сложнее устроенные) разделяющие множества имеются и для уравнений более высоких степеней, а также для систем уравнений. Знать их геометрию очень полезно для исследования уравнений с параметрами и для многих других задач. Были нарисованы и объяснены дискриминантные множества для уравнений третьей и четвёртой степени — полукубическая парабола и ласточкин хвост — и результантая поверхность для системы двух квадратных уравнений — зонтик Уитни.

Доказали, что у вещественных уравнений третьей степени не существует общего решения, заданного непрерывной функцией от его коэффициентов.

Есть брошюра «Геометрия дискриминанта» и видеозапись:
1. «Дискриминант многочлена третьей степени»;
2. «Несуществование непрерывного решения уравнения третьей степени»;
3. «Ласточкин хвост»;
4. «Зонтик Уитни»;
5. «Многочлен четвёртой степени и его производная».

Лекция 17 (355) 21.02.2015

Илья Дмитриевич ШКРЕДОВ,

ведущий научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова, профессор кафедры динамических систем мехмата МГУ.

Аддитивно-комбинаторные задачи и теорема Ван дер Вардена об одноцветной арифметической прогрессии

Аддитивная комбинаторика — молодая и активно развивающаяся область математики, находящаяся на стыке теории чисел и комбинаторики.Основной предмет этой науки — комбинаторные утверждения, в формулировках которых присутствуют операции сложения или умножения. Например, что можно сказать о свойствах множества A + A (множества всевозможных попарных сумм) зная свойства множества A, и наоборот?

Правда ли, что как бы мы ни раскрасили натуральные числа в конечное число цветов, у уравнения x + y = z найдётся такое решение, что x, y и z одного цвета?

Почему любое натуральное число представимо в виде суммы некоторого набора слагаемых, каждое из которых является простым числом или единицей, а общее количество таких слагаемых не превосходит некоторого конкретного числа?

Почему при любой раскраске натурального ряда найдётся сколь угодно длинная арифметическая одноцветная прогрессия?

Есть видеозапись:
1. «Сумма двух множеств»;
2. «Количество элементов суммы двух конечных множеств не меньше уменьшенной на 1 суммы количеств элементов этих множеств»;
3. «Суммы не более чем трёх простых чисел»;
4. «Плотности подмножества натурального ряда»;
5. «План доказательства»;
6. «Плотность суммы не меньше суммы плотностей, из которой вычли произведение плотностей»;
7. «Теорема Шнирельмана»;
8. «Если сумма плотностей больше 1, то сумма — весь натуральный ряд»;
9. «Ван дер Варден, Семереди и Шур»;
10. «Два цвета и арифметическая прогрессия длины 3»;
11. «Разноцветный веер»;
12. «Начало доказательства теоремы Ван дер Вардена»;
13. «Завершение доказательства теоремы Ван дер Вардена».

Лекция 18 (356) 28.02.2015

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Кубики и графы без треугольников

Сколько единичных кубиков нужно отметить в данном кубе, чтобы для любого другого единичного кубика хотя бы один из отмеченных кубиков получался параллельным переносом вдоль одного из рёбер куба?

Каково наибольшее возможное число рёбер графа с данным числом вершин, в котором нет ни одного треугольника?

Есть видеозапись:
1. «Расстановки кубиков»;
2. «Графы без треугольников»;
3. «Вершина наибольшей степени»;
4. «Прибавление двух вершин к графу без треугольников»;
5. «Лемма о невозрастании доли и индукционный переход»;
6. «Количество треугольников»;
7. «Максимальное независимое подмножество в графе без треугольников»;
8. «Графы без четырёхугольников».

Лекция 19 (357) 7.03.2015

Александр Юрьевич ПЛАХОВ,

университет Авейро (Португалия) и институт проблем передачи информации (Москва).

Невидимость и биллиард

Можно ли сделать некоторый объект невидимым, расположив вокруг него зеркально отражающие поверхности? Хочется сделать невидимым не только этот объект, но и отражающие поверхности: вся конструкция должна полностью исчезнуть из поля зрения наблюдателя. Было рассказано, как обеспечить невидимость из одной точки (наблюдатель смотрит одним глазом, зажмурив другой) и из двух точек (смотрит двумя глазами). Полная невидимость (когда наблюдатель, глядя на объект с разных сторон, ничего не видит) невозможна. Было рассказано об этом и о некоторых других смежных вопросах.

Посмотрите иллюстрации.

Есть видеозапись:
1. «Невидимость и биллиард»;
2. «Тело, невидимое в одном направлении»;
3. «Оптические свойства эллипса, параболы и гиперболы»;
4. «Невидимость в двух направлениях»;
5. «Невидимость из точки»;
6. «Можно ли из зеркал сделать мантию-невидимку?».

Лекция 20 (358) 14.03.2015

Сергей Владимирович ДВОРЯНИНОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент, автор статей журналов «Квант», «Потенциал», «Фрактал», «Математическое образование», «Математика в школе», «Математика для школьников», «Физика для школьников», «Математика», «Квантик».

Гармонический ряд: жук, кирпичи, утка с лисой и причаливание

Гармонический ряд расходится. Другими словами, сумма чисел, обратных к натуральным числам, ничем не ограничена сверху. Было рассказано о применениях этого факта при решении задач о причаливании, о жуке на растягиваемом шнуре и о конструкции из кирпичей.

Другая часть этой лекции прозвучала 7.02.2015.

Есть видеозапись:
8. «Причаливание (повторение)»;
9. «Жук на растягиваемом шнуре»;
10. «Кирпичи».

Лекция 21 (359) 21.03.2015

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Игра Конвея с единицами. Треугольник Паскаля и числа Стирлинга

Повторение лекции 17.09.2011 о задаче Дж. Конвея о единицах. Она связана с треугольником Паскаля. Подбирая правила игры, можно получить как великолепную иллюстрацию бинома Ньютона, так и числа Стирлинга для перестановок.

Есть видеозапись:
1. «Конвей и последовательности единиц»;
2. «Увеличение переменной на 1 и треугольник Паскаля»;
3. «Числа Стирлинга для перестановок»;
4. «Многочлены, Стирлинг и Конвей».

Лекция 22 (360) 28.03.2015

Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ,

автор книг «Задачи по планиметрии», «Задачи по арифметике, алгебре и анализу».

Математика

Всякий планарный граф можно нарисовать так, что все рёбра будут отрезками. Задача была сформулирована, но не решена на этой лекции: девятиклассник Алексей Нигин заметил ошибку в индукции по числу граней. А индукцией по числу вершин теорему доказать можно, если использовать существование в каждом планарном графе хотя бы одной вершины, степень которой меньше шести.

Следующая часть лекции была посвящена представимости многочлена в виде суммы нескольких квадратов. Для многочленов от одной переменной при помощи комплексных чисел легко доказать представимость. Для двух переменных ответ не такой: есть многочлен, все значения которого неотрицательны, а сам он не представим в виде суммы квадратов многочленов.

Проективные преобразования могут переводить окружность в себя, переводя при этом центр не в центр, а в любую из точек внутренности круга, ограниченного рассматриваемой окружностью. Было рассказано о связи этого с неевклидовой геометрией, о площади треугольника и других моделях неевклидовой плоскости.

Есть видеозапись:
1. «Распрямление рёбер планарного графа»;
2. «Представимы или не представимы в виде суммы квадратов многочлены, все значения которых неотрицательны?»;
3. «Проективные преобразования и площадь неевклидова треугольника».

Лекция 23 (361) 4.04.2015

Александр Юрьевич ПЛАХОВ,

университет Авейро (Португалия) и институт проблем передачи информации (Москва).

Формы наилучшего обтекания в космосе

Космический корабль совершает долгое межзвёздное путешествие в облаке галактического газа. Его корпус хорошо отполирован, так что частицы газа при столкновении с ним отскакивают абсолютно упруго. Мы хотим придать кораблю наиболее обтекаемую форму (так, чтобы его торможение об облако было наименьшим). Было рассказано о задачах наилучшего обтекания такого рода. Первую такую задачу изучил, как ни странно, ещё в 1687 году Исаак Ньютон в своей знаменитой книге «Математические начала натуральной философии». Оказывается, в космосе обтекаемые формы совсем не такие, как на поверхности Земли.

Есть видеозапись:
7. «Аэродинамическая задача Ньютона: обтекание осесимметричного выпуклого тела»;
8. «Обтекание невыпуклых тел»;
9. «Сила сопротивления»;
10. «Сила сопротивления движению цилиндра, конуса, шара»;
11. «Неосесимметричное выпуклое тело»;
12. «Невыпуклое тело сколь угодно малого сопротивления, или Две параболы с общим фокусом»;
13. «Обтекание куба».

Лекция 24 (362) 11.04.2015

Михаил Сергеевич ГЕЛЬФАНД,

доктор биологических наук и кандидат физико-математических наук, профессор факультета биоинженерии и биоинформатики МГУ, член Европейской Академии, заместитель директора Института проблем передачи информации РАН, заместитель главного редактора газеты «Троицкий вариант — наука».

Биоинформатика и динамическое программирование

Динамическое программирование можно применять для выявления генов в ДНК, то есть для распознавания того, какие именно участки генетического кода кодируют белки.

Есть видеозапись.

Читайте и смотрите pdf-файл со слайдами или такого же содержания ppt-файл.

Опубликован курс видеолекций о биоинформатике.

Лекция 25 (363) 18.04.2015

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Плоскость Фано и проективная плоскость над полем вычетов по модулю 3

Плоскость Фано состоит из 7 точек и 7 прямых. Нарисовать её можно, проведя в равностороннем треугольнике высоты и вписанную окружность: точками плоскости являются при этом вершины треугольника, основания высот и центр вписанной окружности, а прямыми — стороны, высоты и вписанная окружность.

Было объяснено, что такое аффинная плоскость над конечным полем, что такое проективные координаты и как добавлением бесконечно удалённой прямой получить из аффинной плоскости проективную. Было объяснено, что плоскость Фано — это проективная плоскость над полем из 2 элементов. Были выписаны координаты всех 13 точек и уравнения всех 13 прямых проективной плоскости над полем вычетов по модулю 3. Объяснено, что такое двойственность и как она помогает строить графы без четырёхугольников. Решена задача Всесоюзной олимпиады о максимальном количестве центров клеток квадрата со стороной 7 (или 13, или вообще вида p² + p + 1, где p — простое число), никакие четыре из которых не являются вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными сторонами рассматриваемого квадрата.

Есть видеозапись:
9. «Плоскость Фано и проективная плоскость над полем вычетов по модулю 3».

Лекция 26 (364) 25.04.2015

Александр Юрьевич ПЛАХОВ,

университет Авейро (Португалия) и институт проблем передачи информации (Москва).

Поворот отрезка, погоня и аэродинамическая задача Ньютона

Отрезок единичной длины лежит на плоскости. Требуется развернуть его на 180° таким образом, чтобы он замёл данную (сколь угодно малую!) площадь (всё время оставаясь на плоскости, разумеется). Отрезок при этом можно не только вращать, но и двигать поступательно.

Эта задача решена караимом А.С. Безиковичем, который работал до революции 1917 года в России, а после неё в Англии. Было рассказаны её решение и показана её связь с задачей Ньютона о телах наилучшего аэродинамического обтекания.

Была сформулирована знаменитая задача о погоне, тоже решённая Безиковичем: «Лев и человек находятся внутри круговой арены. И лев, и человек — точки, их максимальные скорости одинаковы. Может ли человек бежать так, чтобы лев никогда не поймал его?»

Есть видеозапись:
14. «Две задачи Безиковича: поворот отрезка внутри фигуры сколь угодно малой площади и бесконечно долгое убегание одной точки от другой внутри круга»;
15. «Поворот отрезка в фигуре сколь угодно малой площади»;
16. «Поворот отрезка и гармонический анализ»;
17. «Акопян и две параболы»;
18. «Ямка маленького сопротивления».

Советую прочитать статью М.Л. Гервера «Собака бежит наперерез» третьего номера «Кванта» 1973 года и статью В.Г. Болтянского «О вращении отрезка» четвёртого номера «Кванта» 1973 года>.

Лекция 27 (365) 16.05.2015

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», преподаватель Малого мехмата и ДНТТМ, с 1992 по 2013 год — учитель гимназии 1543.

Графы без пятиугольников и конечные поля

Завершение лекций «Кубики и графы без треугольников» от 15.02.2015 и «Проективные плоскости» от 18.04.2015.

Есть видеозапись:
10. «Тысяча карточек и ящики»;
11. «На любых четырёх вершинах не более четырёх рёбер»;
12. «Графы без пятиугольников»;
13. «Теорема о количестве рёбер»;
14. «Поля из 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25 элементов».