МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 6 (23 октября 2010 года)

1.

Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова — за 3, овца — за 6 суток. За какое время лошадь, корова и овца вместе съедят 3 копны сена?

2.

Андрей приобрёл набор цветной бумаги и сложил из каждого листа либо кораблик, либо самолётик. Докажите, что найдутся самолётик и кораблик разного цвета.

3.

Известно, что из любых двух членов правительства Анчурии хотя бы один — взяточник. Сколько может быть в правительстве честных чиновников?

4.

Для поправки здоровья богатырю надо отпить из молочной реки ровно 43 литра. У богатыря есть два ведра в 24 и 11 литров и огромная бочка. Сможет ли он поправить свое здоровье?

5.

Улитка ползёт по стене с постоянной скоростью. Сначала она ползёт горизонтально, но каждые 30 минут меняет направление своего движения с горизонтального на вертикальное и наоборот.

а)

Может ли она вернуться в исходную точку через 7 часов 45 минут?

б)

А через семь с половиной часов?

в)

А через 11 часов?

6.

Петя и Вася живут в соседних домах (план изображён на рисунке). Вася живёт в четвёртом подъезде. Известно, что Пете, чтобы добежать до Васи кратчайшим путем (не обязательно идущим по сторонам клеток), безразлично, с какой стороны обегать свой дом. Определите, в каком подъезде живёт Петя.

Дополнительные задачи

7.

Дано 2010 целых чисел. Известно, что сумма любых 100 из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел положительна.

8.

В заповеднике живут 16 жирафов, все разного роста. Возможно ли построить этих жирафов в ряд так, что, какие бы 11 из них ни убежали, оставшиеся пятеро будут стоять не по росту? (По росту — значит в порядке убывания роста или в порядке возрастания роста.)

9.

В строку выписаны 40 натуральных чисел, при этом сумма любых трёх подряд идущих равна 300 или 301. Первое число равно 100. Чему может быть равно последнее число? Укажите все возможности и докажите, что других нет.

10.

Соберите прямоугольник из уголков, изображённых на рисунке. Каждый уголок нужно использовать ровно один раз.