МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 5 (16 октября 2010 года)

1.

У папуаса, не умеющего считать, есть мешок кокосовых орехов. Путешественник Миклухо-Маклай предлагает ему обменять этот мешок на коробок спичек, утверждая, что спичек в коробке больше, чем кокосов в мешке. Как папуасу проверить, не обманывает ли его Маклай?

2.

Электропоезд длиной 200 м проезжает мимо столба за 9 секунд. Сколько времени ему понадобится, чтобы проехать мост длиной 400 м?

3.

Как разделить между тремя людьми семь полных бочек мёда, семь порожних бочек и семь бочек, заполненных мёдом наполовину, чтобы каждый получил поровну и бочек, и мёда? Переливать мёд не разрешается.

4.

По кругу расставлены десять чисел, каждое из которых равно полусумме двух своих соседей. Докажите, что все эти числа равны.

5.

В каждой клетке прямоугольной таблицы написано число. Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 100. Докажите, что таблица квадратная.

6.

а)

В строчку написаны 10 единиц. Саша и Стёпа по очереди ставят между какими-нибудь соседними числами знаки «+» или «−» (если там ещё нет знака). Начинает Саша. Когда между всеми соседними числами расставлены знаки, вычисляют значение полученного выражения. Если оно чётное, выигрывает Саша, иначе — Стёпа. Может ли один из ребят играть так, чтобы всегда выигрывать (как бы ни играл другой), и, если может, то как ему следует играть?

б)

А если можно ставить «+» или знак умножения? (При вычислении выражения сначала выполняются умножения, потом — сложения.)

7.

Круг разделён на 6 секторов, и в них расставлены нули и единицы так, как показано на рисунке. За один ход разрешается одновременно увеличить на 1 любые два стоящих рядом числа. Можно ли за несколько таких ходов сделать все числа равными?

Дополнительные задачи

8.

В Тридевятом царстве есть лишь один вид транспорта — ковёр-самолёт. Из столицы выходит 5 ковролиний, из города Дальний — 1 ковролиния, из всех остальных — по 4 ковролинии. Докажите, что из столицы можно долететь в Дальний (возможно, с пересадками).

9.

В однокруговом футбольном турнире (каждая команда играет с каждой ровно один раз) за победу давали 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. «Спартак» одержал больше всех побед. Мог ли он набрать меньше всех очков?

10.

а)

В гостиницу приехал путешественник. У него вместо денег нашлась лишь серебряная цепочка из 7 звеньев. Хозяин требует платить по одному звену в день без задержек, готов давать сдачу ранее полученными кусками цепочки, но плату вперёд брать отказывается. Какое наименьшее число звеньев придётся распилить, чтобы можно расплачиваться все 7 дней?

б)

А если звеньев и дней 23?