МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 11 (27 ноября 2010 года)

1.

Придумайте числовой ребус, имещий ровно а) 1 решение, б) 2 решения, в) 0 решений.

2.

В ряд выписаны 11 целых чисел. Сумма любых двух соседних не больше 3. Может ли сумма всех чисел быть больше 1000?

3.

На рисунке показана развёртка кубика, имеющая 12 углов.

а)

Придумайте развёртку кубика с меньшим, чем 12, числом углов.

б)

Придумайте развёртку кубика с большим, чем 12, числом углов.

в)

Какое наименьшее число углов может иметь развёртка кубика?

4.

Двое играют на шахматной доске 8×8 в следующую игру. Они по очереди передвигают ладью, причём ходить можно только вправо или вверх (на любое количество клеток). В начале ладья стоит на старте — в левой нижней клетке, а выигрывает тот, кто поставит ладью в правую верхнюю клетку — финиш. Докажите, что второй сможет выиграть, как бы ни старался первый.

5.

Четыре блохи играют в чехарду на большом листе клетчатой бумаги. Каждую секунду одна из блох перепрыгивает через какую-то другую и пролетает расстояние вдвое большее, чем было между ними до прыжка (как на рисунке справа). Сейчас блохи сидят в вершинах одной клетки. Могут ли все четыре блохи через некоторое время оказаться на одной прямой?

6.

а)

Лена и Коля спускались с вершины горы. Коля шёл в два раза быстрее, чем Лена. Но зато Лена успевала смотреть по сторонам и на полпути нашла оставленные кем-то санки, села на них и оставшуюся часть пути двигалась в восемь раз быстрее, чем Коля. Кто из них быстрее спустился с горы?

б)

Где нужно было бы оставить санки, чтобы Лена и Коля спустились с горы за одно и то же время?

Дополнительные задачи

7.

Можно ли квадратный лист бумаги сложить так, чтобы потом одним взмахом ножниц разрезать его на четыре квадратика?

8.

В Муромском лесу из-под земли бьют десять источников мёртвой воды: от №1 до №10. Из первых девяти источников мёртвую воду может взять каждый, а источник №10 находится в пещере Кощея, в которую никто, кроме него, попасть не может. Если выпить воды из какого-нибудь источника, то смертельно отравишься. Спасти может только одно: нужно выпить из источника, номер которого больше, в таком случае яд с большим номером подействует, как противоядие. Иванушка-дурачок вызвал Кощея на дуэль. Условия дуэли такие: каждый приносит с собой кружку с жидкостью и даёт её выпить своему противнику. Кощей обрадовался: «Ура! Я дам яд №10, и Иванушка-дурачок не сможет спастись! А сам выпью яд, который Иванушка-дурачок мне принесёт, запью его своим десятым и спасусь!». В назначенный час противники встретились в условленном месте, честно обменялись кружками и выпили то, что в них было. Но Кощей умер, а Иванушка-дурачок победил и остался жив. Как ему это удалось?