МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководители Сергей Александрович Дориченко и Степан Львович Кузнецов
2010/2011 учебный год

Занятие 20 (19 марта 2011 года)

1.
На окружности стоят 6 фишек белого и чёрного цветов. Настя убрала все белые фишки, у которых есть хотя бы один чёрный сосед. После этого Алёша убрал все чёрные фишки, у которых есть хотя бы один белый сосед. Могла ли после этого на окружности остаться ровно одна фишка?
2.
Есть несколько шоколадок, каждая весом не более 100 г. Если мы разделим эти шоколадки между двумя ребятами (не ломая ни одну из шоколадок), то кому-то из них обязательно достанется не более 100 г шоколада. Сколько, самое большее, могут весить все шоколадки вместе?
3.
Стёпа покрасил тетрадный листок в два цвета. Докажите, что найдутся две а) одноцветные; б) разноцветные точки на расстоянии 1 см.
4.
На физическом кружке учитель поставил следующий эксперимент. Он разложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, ..., 16 грамм так, что одна из чаш перевесила. Пятнадцать учеников по очереди выходили из класса и забирали с собой по одной гирьке, причем после выхода каждого ученика весы меняли свое положение и перевешивала противоположная чаша весов. Какая гирька могла остаться на весах?
5.
Разрежьте треугольник, изображённый на рисунке справа, на а) 3, б) 12, в) 38 равнобедренных треугольников. Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две стороны одинаковой длины. Вершины всех треугольников должны быть в узлах клеток.
6.
На рисунке слева изображена гусеница танка. Танк проехал 10 см. Сколько сантиметров проехала при этом точка A?

Дополнительные задачи

7.
Неуловимый Джо никогда не проигрывает на рулетке больше четырех раз подряд и никогда не ставит больше 10 долларов. Вначале Джо имеет 100 долларов. Как ему выиграть 1000 долларов? (В случае выигрыша на рулетке возвращается удвоенная ставка.)
8.
Двое играющих по очереди переводят часовую стрелку на 2 или 3 часа вперёд. В начале игры стрелка указывает на 12 часов. Побеждает тот, после чьего хода стрелка указывает на 6 часов. Кто победит при правильной игре? (Стрелка может сделать несколько оборотов перед тем, как остановиться на числе 6.)