МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 2 (25 сентября 2010 года)

1.

Пять парней за пять дней съели пять окуней. За сколько дней 15 парней съедят 15 окуней?

2.

В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов хотя бы один — груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

3.

Четыре кузнеца должны подковать пять лошадей. На каждую подкову уходит 5 минут. За какое наименьшее время они смогут подковать всех лошадей? (Лошадь не может стоять менее, чем на трёх ногах.)

4.

Давным-давно барон фон Мюнхгаузен обнёс свои владения забором и нарисовал его на карте. Забор был изображён замкнутой несамопересекающейся линией, внутри которой — владения барона. Барон забыл, входит ли в его владения деревня Гаузеновка. К сожалению, он смог найти лишь обрывок карты, на который попали его дом, деревня Гаузеновка и часть забора. Входит ли деревня во владения барона?

5.

Расположите на плоскости 6 прямых и отметьте на них 7 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено 3 точки.

6.

В стакан, в котором находятся 1000 бактерий, поместили один вирус. Каждую минуту происходит следующее: каждый вирус съедает одну бактерию, после чего каждый вирус делится на два вируса, а каждая бактерия — на две бактерии. Можно ли утверждать, что через некоторое время в стакане не останется ни одной бактерии?

7.

На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй — 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

Дополнительные задачи

8.

Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая достанется — определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт себе излишек из кучки медвежонка, которому досталось больше конфет. После этого все едят доставшиеся им конфеты.

а)

Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше).

б)

Если Лиса задастся целью съесть ровно N конфет, то при каких N ей это удастся?

9.

а)

На шахматной доске расположены фигуры так, что на каждой горизонтали и вертикали стоят больше двух фигур. Всегда ли можно снять с доски несколько фигур так, чтобы на каждой горизонтали и вертикали осталось по одной фигуре?

б)

Тот же вопрос для случая, когда в начале на каждой горизонтали и вертикали стоит ровно две фигуры.

10.

Какое наибольшее число полей можно отметить на шахматной доске так, чтобы с любого из них на любое другое отмеченное поле можно было пройти ровно двумя ходами коня?