МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 22 (2 апреля 2011 года)

1.

Вычислите значение произведения: 77×999...99 (2011 девяток).

2.

Ковровая дорожка покрывает лестницу из 9 ступенек. Длина и высота лестницы равны 2 метрам. Хватит ли этой ковровой дорожки, чтобы покрыть лестницу той же длины и высоты, но из 10 ступенек?

3.

На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было поровну раздать как троим, так и четверым?

4.

а)

Нарисуйте многоугольник, который одним прямолинейным разрезом можно разрезать на четыре равные части.

б)

Может ли у такого многоугольника быть семь углов?

в)

А шесть?

5.

Игорь закрасил в квадрате 6×6 несколько клеток. После этого оказалось, что во всех квадратиках 2×2 одинаковое число закрашенных клеток и во всех полосках 1×3 одинаковое число закрашенных клеток. Докажите, что старательный Игорь закрасил все клетки.

6.

В стране Семёрка 15 городов, каждый из которых соединён дорогами не менее, чем с 7 другими. Докажите, что из любого города можно добраться до любого другого (возможно, проезжая через другие города).

Дополнительные задачи

7.

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?

8.

Дано 27 кубиков одинакового размера: 9 красных, 9 синих и 9 белых. Можно ли сложить из них куб таким образом, чтобы каждый столбик из трёх кубиков содержал кубики ровно двух цветов? (Рассматриваются столбики, параллельные всем ребрам куба, всего 27 столбиков.)