МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководители Сергей Александрович Дориченко и Степан Львович Кузнецов
2010/2011 учебный год

Занятие 19 (12 марта 2011 года). Устная командная олимпиада

1-й тур

1.
В числе 314159265358979 зачеркните 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число.
2.
Отметьте 4 клетки на доске 8×8 так, чтобы в каждом квадрате 3×3 была ровно одна отмеченная клетка.
3.
В тесте к каждому вопросу указаны 5 вариантов ответа. Маша ответила на все вопросы правильно. Когда Вове удавалось списать, он тоже отвечал правильно, а в противном случае — наугад, и среди несписанных ответов он правильно ответил на 1/5 часть. Владимир правильно ответил на половину вопросов теста. Какую долю ответов ему удалось списать?

2-й тур

4.
Малыш и Карлсон хотят разделить между собой квадратный торт. Каждый хочет получить как можно большую часть. Они договорились, что Малыш выберет на торте точку, а Карлсон разрежет торт прямолинейным разрезом, проходящим через эту точку, и выберет себе часть, какую хочет. Какие части торта заведомо смогут получить Малыш и Карлсон, если постараются?
5.
Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме — во второй день. Докажите, что все участники за два дня решили поровну задач.

3-й тур

6.
Длина линейки равна 13 см. Какое наименьшее число делений необходимо поставить, чтобы можно было за одно прикладывание линейки отмерить любой из отрезков 1, 2, ..., 12 см?
7.
Сколько клеток можно отметить на доске 8×8 так, чтобы в каждом квадрате 3×3 была ровно одна отмеченная клетка?

4-й тур

8.
Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2011 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?
9.
На старт „Весёлого забега” на 3000 м выходит команда из трех математиков. Им выдается один одноместный самокат. Дорожка — прямая, стартуют все одновременно, а в зачет идет время последнего. Время соперников — 21 минута. Как математикам финишировать быстрее, если бегают все 125 м/мин, а на самокате ездят — 250 м/мин?