МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 23 (9 апреля 2011 года)

1.

Любые четыре из некоторых десяти гирек перевешивают любые три другие из этих гирек. Верно ли, что любые три из этих десяти гирек перевешивают любые две другие?

2.

В копилке лежит 20 рублёвых монет и 10 двухрублёвых монет. Какое наименьшее число монет нужно выковырять из копилки, чтобы среди них наверняка оказались а) две монеты одного достоинства; б) две двухрублёвых монеты; в) две монеты разного достоинства?

3.

Петя написал на гранях кубика натуральные числа от 1 до 6. Вася кубика не видел, но утверждает, что а) у этого кубика есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа; б) таких пар соседних граней у кубика не меньше двух. Прав ли он?

4.

Пять футбольных команд провели турнир — каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5 и 7 очков. А сколько очков набрала пятая команда?

5.

Раскрасьте плоскость в три цвета так, чтобы на каждой прямой были точки не более, чем двух цветов, и каждый цвет был бы использован.

6.

Доска размером 6×6 покрыта 18 доминошками размером 2×1 (доминошки не перекрываются и не вылезают за пределы доски). Докажите, что при любом таком покрытии можно разрезать доску на две части по горизонтальной или вертикальной линии, не повредив ни одной доминошки.

Дополнительные задачи

7.

Петя и Вася играют на доске 10×10 в такую игру. У Пети есть много квадратиков размером в одну клетку, у Васи есть много уголков из трёх клеток. Первым ходит Петя, за ход игрок кладёт на доску одну из своих фигурок, класть фигурку поверх уже лежащих на доске запрещается. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Петя утверждает, что он всегда сможет выиграть, как бы ни старался Вася. Прав ли Петя?

8.

У входа в пещеру с сокровищами стоит бочка с 4 дырками по кругу в крышке. В каждой дырке можно нащупать селедку хвостом вверх или вниз. Али-Баба может просунуть руки в любые две дырки, определить положение селедок под ними и, если хочет, перевернуть одну или обе по своему усмотрению. Когда хвосты всех четырех селедок окажутся направленными в одну сторону, дверь в пещеру откроется. Однако, после того как Али-Баба вытаскивает руки, бочка некоторое время с дикой скоростью крутится, так что Али-Баба не может определить, куда именно он совал руки раньше. Как Али-Бабе открыть дверь не более чем за 10 засовываний?