МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 10 (20 ноября 2010 года)

1.

Альпинист стоит на вершине отвесной скалы высотой 100 м с уступом на высоте 50 м. У него есть 77-метровая верёвка и нож. На вершине скалы и на уступе вбиты колышки, к которым можно привязать верёвку. Альпинист хочет успеть к обеду добраться до лагеря, находящегося у подножия скалы. Как ему спуститься со скалы (разумеется, не прыгая)?

2.

Окна в вагонах метро имеют форму, изображённую на рисунке слева. Закругления верхних углов рамы и стекла сделаны в виде дуги окружности. Окно приоткрыли, сдвинув стекло на 10 см. Высота подвижной части окна равна 25 см. Найдите площадь открытой части окна.

3.

После семи стирок кусок мыла уменьшился вдвое и по длине, и по ширине, и по высоте. На сколько таких же стирок хватит оставшегося куска мыла?

4.

Какие из изображённых справа фигур можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одной линии дважды?

5.

Четыре обрывка цепи, содержащих по два звена каждый, нужно соединить в одну цепь. Какое наименьшее число звеньев нужно для этого расклепать?

6.

Лёша выдал Паше и Ване по карточке. На каждой карточке написано натуральное число, причём Лёша утверждает, что эти числа отличаются на единицу, и просит ребят определить эти числа. Каждый из них посмотрел на свою карточку, но не показал её соседу. После чего они начали беседу.
Паша: „Я не знаю твоё число”.
Ваня: „Я тоже не знаю твоё число”.
Паша: „Я тоже не знаю твоё число”.
После ещё ста точно таких же реплик Ваня сказал, что знает число Паши. Какие числа были написаны на карточках?

Дополнительные задачи

7.

В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.

8.

На рисунке показано, как можно разрезать доску 8×8 на 10 прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались даже углами. Разрежьте доску 8×8 по линиям сетки не менее, чем на а) 25, б) 30 прямоугольников с тем же свойством. Попробуйте разрезать эту доску на ещё большее число прямоугольников.

9.

Даны 8 гирек весом 1, 2, ..., 8 граммов, но неизвестно, какая из них сколько весит. Барон Мюнхгаузен утверждает, что помнит, какая из гирек сколько весит, и в доказательство своей правоты готов провести одно взвешивание на чашечных весах, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь. Не обманывает ли он?