МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 21 (26 марта 2011 года)

1.

Можно ли расположить 12 монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно а) по 2 монеты; б) по 3 монеты; в) по 4 монеты; г) по 5 монет; д) по 6 монет; е) по 7 монет? Разрешается класть монеты одну на другую.

2.

В магазин привезли платья трёх разных фасонов и трёх разных расцветок. Продавщица хочет выбрать для витрины три платья так, чтобы были представлены все фасоны и все расцветки. Всегда ли она сможет это сделать?

3.

Рита, Люба и Варя решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Девочки говорят, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, причём одновременных решений не было. Могло ли так быть?

4.

Прямая раскрашена в два цвета. Обязательно ли на ней найдётся отрезок с концами одного цвета, середина которого имеет тот же цвет?

5.

В вершинах шестиугольника написали по одному числу, а на каждой стороне написали сумму двух чисел на её концах. Затем все числа в вершинах и одно число на стороне стёрли. Можно ли восстановить число, стоявшее на стороне?

6.

Незнайка разрезал фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки. Сколько трёхклеточных уголков могло получиться?

Дополнительные задачи

7.

У Вовочки живут девять котят, любителей сладкого. Однажды один из них слопал торт, и никто не сознался. Вовочка придумал взвесить их на чашечных весах без гирек. Все голодные котята весят одинаково. Может ли Вовочка найти сладкоежку за два взвешивания?

8.

Можно ли расставить 32 коня на доске 8×8 так, чтобы каждый из них бил ровно двух других.