МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 15 (12 февраля 2011 года)

1.

В пруду растёт ряска, и ежедневно каждое растение делится пополам. Пруд зарос за неделю. В какой момент времени четверть пруда была покрыта ряской?

2.

В Солнечном городе живут честные коротышки, которые всегда говорят одну только правду, и лукавые коротышки, которые всегда лгут. Однажды встретились 26 коротышек из Солнечного города, и каждый заявил всем остальным: „Большинство из вас — лукавые коротышки”. Сколько честных коротышек могло быть среди них?

3.

Придумайте 100 положительных чисел (не обязательно различных)

а)

сумма которых в 100 раз больше их произведения;

б)

сумма которых равна их произведению.

4.

Молоко и сливки продаются в магазине в одинаковых бутылках. 4 пустых бутылки можно обменять на бутылку молока, а 8 пустых бутылок — на бутылку сливок. Коля нашёл 40 пустых бутылок и приступил к обменам в магазине. Получая при обмене полную бутылку, он выпивал молоко или сливки, а освободившуюся бутылку использовал при следующих обменах. В конце этой деятельности у него осталась всего одна пустая бутылка. Сколько обменов совершил Коля?

5.

В некотором государстве каждый город соединен с каждым дорогой. Сумасшедший король хочет ввести на дорогах одностороннее движение так, чтобы, выехав из любого города, путешественник не смог в него вернуться. Можно ли так сделать? (Возможно, что после этого из некоторых городов будет вообще нельзя выехать.)

6.

У электромонтёра был кусок провода длиной 25 м, из которого утром он собирался вырезать необходимые для работы куски в 1 м, 2 м, 3 м, 6 м и 12 м. Но утром обнаружилось, что ночью какой-то хулиган разрезал провод на две части. Сможет ли монтёр выполнить намеченные работы?

Дополнительные задачи

7.

Разрезать изображённую на рисунке фигурку на две части, из которых можно сложить треугольник.

8.

Квадратное поле разбито на 100 участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у которых 2-х соседних (то есть имеющих общую сторону) участков уже поросли бурьяном. Докажите, что поле никогда не зарастёт бурьяном полностью.