МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 18 (5 марта 2011 года)

1.

Шеф секретной службы составил следующую инструкцию для своих семи главных агентов, которые следят друг за другом: 001 следит за тем, кто следит за 002, 002 — за тем, кто следит за 003, ..., 007 следит за тем, кто следит за 001. Агент может следить только за одним человеком. Как происходит слежка?

2.

На клетчатой плоскости нарисован многоугольник, все стороны которого идут по линиям сетки. Известно, что он состоит из нечётного числа клеток. Каким может быть его периметр?

3.

Собрались трое аборигенов — каждый либо рыцарь, либо лжец. Первый сказал второму: „Вы — рыцарь!” Второй остальным: „Вы оба — рыцари!” Третий: „Да мы все — рыцари!” Кто есть кто?

4.

В забеге от Воробьёвых гор до Красной площади приняли участие три спортсмена. Сначала стартовал Гриша, затем — Саша, и последней — Лена. После финиша выяснилось, что во время забега Гриша обгонял других 10 раз, Лена — 6 раз, Саша — 4 раза, причем все трое ни разу не оказывались в одной точке одновременно. В каком порядке финишировали спортсмены, если известно, что они пришли к финишу в разное время?

5.

У деревянного куба отпилили один угол. Сколько углов осталось?

6.

Трое друзей принесли с собой на Малый мехмат конфеты. Первый отдал каждому из остальных столько конфет, сколько у того уже было. Затем остальные по очереди сделали то же самое. После этого конфет у них стало поровну. Сколько всего конфет ребята принесли на Малый мехмат, если первый принёс 13 конфет?

7.

Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?

Дополнительные задачи

8.

Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее, чем за час?

9.

В стране 100 городов и несколько дорог. Каждая дорога соединяет два какие-то города, дороги не пересекаются. Из каждого города можно добраться до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что можно объявить несколько дорог главными так, чтобы из каждого города выходило нечетное число главных дорог.