|
Составление уравнений
Математики похожи на французов: что бы Вы ни сказали, они всё переведут на свой собственный язык. Получится нечто противоположное.
И. В. Гёте
|
150.
| Голова рыбы весит столько, сколько хвост и половина туловища, туловище — столько, сколько голова и хвост вместе. Хвост её весит 1 кг. Сколько весит рыба?
|
Ответ
Указание
Решение
|
|
|
|
Указание. Обозначьте буквой x массу головы рыбы. | |
|
|
Решение. Пусть голова рыбы весит x килограммов. Тогда половина туловища весит x – 1 килограммов, а всё туловище весит 2x – 2 килограммов. Следовательно,
2x – 2 = x + 1,
откуда
x = 3.
Следовательно, голова весит 3 кмлограмма, туловище —
4 килограмма, хвост — 1 килограмм.
| | |
|
|
151.
| Ученик должен был разделить число на 2 и к результату прибавить 3, а он, по ошибке, умножил число на 2 и от полученного частного отнял 3. Ответ всё равно получился правильный. Какой?
|
Уравнение
Ответ
|
|
Уравнение. Если x — начальное число, то
x/2 + 3 = 2x – 3.
| |
|
|
|
|
|
152.
| Один сапфир и два топаза ценней, чем изумруд, в три раза. А семь сапфиров и топаз его ценнее в восемь раз. Определить прошу я Вас, сапфир ценнее иль топаз?
|
Ответ
Решение
|
Ответ. Сапфир и топаз одинаково ценны. | |
|
Решение. Обозначим буквами s, t и i, соответственно, цены сапфира, топаза и изумруда. По условию
s + 2t = 3i
и
7s + t = 8i.
Домножая первое из этих уравнений на 8, а второе на 3, получаем
8s + 16t = 24i
и
21s + 3t = 24i.
Таким образом,
8s + 16t = 21s + 3t,
откуда 13t = 13s,
то есть t = s. Топаз и сапфир одинаково ценны.
| | |
|
|
153.
| Четверо товарищей покупают лодку. Первый вносит половину суммы, вносимой остальными; второй — треть суммы, вносимой остальными; третий — четверть суммы, вносимой остальными; четвёртый — 130 рублей. Сколько стоит лодка?
|
Ответ
Указание
Решение
|
|
|
Указание. Половина суммы, вносимой остальными — это треть всей суммы.
| |
|
|
Решение. Итак, первый внёс 1/3 стоимости лодки, второй — 1/4 (треть суммы, вносимой остальными — это четверть всей суммы), третий — 1/5. Таким образом, первые три товарища внесли
1/3 + 1/4 +
1/5 = 47/60
стоимости лодки. Значит, на долю четвёртого пришлось 13/60. Если 13/60 стоимости лодки — 130 рублей, то 1/60 —
10 рублей, а вся стоимость лодки —
600 рублей. | | |
|
|
154.
| Офеня (продавец в разнос, коробейник) купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя офеня получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?
|
Уравнение
Ответ
|
|
Уравнение. 5 – x = 10 – 3x.
| |
|
|
Ответ. 2 рубля 50 копеек. | | |
|
|
155.
| Представьте число 45 в виде суммы четырёх чисел так, что после прибавления 2 к первому числу, вычитания 2 из второго числа, умножения третьего числа на 2 и деления четвёртого числа на 2 эти числа становятся равными.
|
Ответ
Указание
Уравнение |
|
Ответ. 45 = 8 + 12 + 5 + 20.
|
|
|
|
Указание. Обозначьте буквой x число, которое получится после прибавления 2 к первому числу. | |
|
|
Уравнение.
(x – 2) + (x + 2) +
x/2 + 2x = 45.
| | |
|
|
156.
| Турист поднялся в лодке вверх по реке на 20 км и спустился обратно, затратив на всё 10 часов. Путь против течения занял в полтора раза больше времени, чем обратный путь. Найдите скорость течения реки.
|
|
157.
| Артели косцов предстояло скосить два луга, из которых один вдвое
больше другого. Полдня артель косила большой луг, а на вторую половину дня разделилась пополам. Одна половина осталась докашивать большой луг, а другая принялась за малый. К вечеру большой луг скосили, а от малого остался участок, который был скошен за другой день одним косцом. Сколько косцов в артели?
|
Ответ
Решение
|
|
|
|
Решение. Обозначим буквой s площадь, которую скашивает один косец за день.
Количество косцов артели обозначим буквой n. Тогда площадь первого луга равна
ns/2 + ns/4 = 3ns/4
(n косцов работали полдня, а потом n/2 косцов работали полдня, при этом весь луг был скошен). Площадь второго луга по условию вдвое меньше, значит, она равна 3ns/8, из которых ns/4 было скошено в первый день. Таким образом, один косец за день скосил
3ns/8 – ns/4 = ns/8.
Вспомнив определение величины s, получаем n = 8. | | |
|
|
158.
| Два велосипедиста выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Первый из них едет со скоростью 15 км/ч, второй — со скоростью 12 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта выехал третий велосипедист, который через некоторое время догнал второго, а ещё через полтора часа догнал и первого. Найдите скорость третьего велосипедиста.
|
|
159.
| Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного — за 17 минут. Пьер открыл сначала горячий кран. Через сколько минут он должен открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?
|
Ответ
Решение
|
|
|
|
Решение. Если горячей воды в ванне в полтора раза больше, чем холодной, то на каждый две части холодной воды приходится три части горячей, то есть ванна на 3/5 заполнена горячей водой и на 2/5 — холодной. За одну минуту вода из горячего крана заполняет 1/23 ванны. Это означает, что кран с горячей водой должен быть открыт в течение
3/5 : 1/23 = 69/5
минуты. Аналогично, кран с холодной водой должен работать
2/5 : 1/17 = 34/5
минуты. Таким образом, холодный кран нужно открыть на 69/5
– 34/5 = 7 минут позднее.
| | |
|
|
160.
| Турист, идущий из деревни на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 километра, рассчитал, что опоздает к поезду на 40 минут. Поэтому остальной путь он шёл со скоростью 4 км/ч и пришёл на станцию за 45 минут до отправления поезда. Каково расстояние от деревни до станции?
|
Ответ
Решение
|
|
|
|
Решение. Обозначим буквой s расстояние от деревни до станции в километрах.
Если бы турист шёл всё время со скоростью 3 км/ч, то на весь путь он затратил бы s/3 часов. А на самом деле он был в пути
1 + (s – 3) : 4
часов, что на 85 минут (то есть 17/12 часа) меньше,
чем s/3. Таким образом,
1 + (s – 3) : 4 = s/3 + 17/12,
откуда s = 20.
| | |
|
|
161.
| Истратив половину денег, я заметил, что осталось вдвое меньше рублей, чем было первоначально копеек, и столько же копеек, сколько было первоначально рублей.
Сколько денег я истратил? (Подразумевается, что число копеек меньше 100.)
|
Ответ
Решение
|
|
Ответ. 49 рублей 99 копеек. |
| |
|
Решение. Пусть у меня было x рублей и y копеек, то есть 100x + y копеек.
А осталось y/2 рублей и x копеек,
то есть
(100 · y/2) + x
копеек. Получаем уравнение
100x + y = 50y + x,
откуда
98x = 99y.
Поскольку числа 99 и 98 взаимно просты, то x делится на 99. Среди чисел от 0 до 99 таких только два — 0 и 99. Следовательно, у меня было 99 рублей 98 копеек. (Вообще говоря, есть и второй ответ — 0 рублей 0 копеек, но в такой ситуации немногие готовы утверждать, что деньги были.)
| | |
| |
162.
| Управдом Остап Бендер собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич из 105-й квартиры поинтересовался, почему у них во втором подъезде надо собрать денег на 40% больше, чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что двузначные номера стоят вдвое, а трёхзначные — втрое больше, чем однозначные. Сколько квартир в подъезде?
|
Ответ
Решение
|
|
|
|
Решение. Пусть в одном подъезде n квартир. Поскольку во втором подъезде находится квартира №105, то 52 < n ≤ 104. Рассмотрим два случая:
1) Если n ≤ 99, то в первом подъезде находятся все квартиры с однозначными номерами (их 9), а все остальные квартиры имеют двузначные номера (их n – 9). Тогда во втором подъезде окажутся все остальные квартиры с двузначными номерами (их 90 – (n – 9) = 99 – n), а остальные квартиры второго подъезда будут иметь трёхзначные номера (и таких квартир n – (99 – n) = 2n – 99). Составляем уравнение
1,4 · (9 + 2(n – 9)) = 2(99 – n) + 3(2n – 99).
Решая его, получаем n = 72.
2) Если n ≥ 100, то в первом подъезде находятся все квартиры с однозначными номерами (их 9), все квартиры с двузначными номерами (их 90), а остальные квартиры (которых n – 99) имеют трёхзначные номера. Во втором подъезде в этом случае все номера трёхзначные. Получаем уравнение
1,4 · (9 + 90 · 2 + (n –
99) · 3) = 3n.
Решая это уравнение, получаем n = 126, что невозможно, ибо тогда 105-я квартира не была бы во втором подъезде.
| | |
|
|
