|
Суммы и средние арифметические
— Какая сегодня средняя температура по больнице?— спросил ревизор главврача.
|
138.
|  Два человека отправились на рынок продавать яблоки. У них было по 30 яблок. Один собирался продавать по 2 яблока за 1 рубль, а другой — по 3 яблока за 1 рубль. Перед началом торговли первого продавца вызвали домой, и он попросил второго продавца продать его яблоки. Тот стал продавать по 5 яблок за 2 рубля. Если бы они торговали порознь, то выручили бы 10 рублей и 15 рублей, а продавая по 5 яблок за 2 рубля, они получили 24 рубля. Куда исчез рубль?
| Решение
|
|
Решение. Вообразите, что продавец не ушёл домой, а остался за прилавком. Пусть покупатели тратят по 2 рубля, покупая у каждого продавца на рубль. Тогда первые 10 покупателей купят 20 дорогих и 30 дешёвых яблок, так что дешёвые яблоки кончатся раньше, чем дорогие. Рубль исчез потому, что оставшиеся 10 дорогих яблок продали не по два яблока за рубль, а как смесь, по 5 яблок за 2 рубля.
Замечание. Поскольку более дорогое яблоко стоило 1/2 рубля за штуку, а более дешёвое — 1/3 рубля, следовало продавать их по (1/2 + 1/3) : 2 =
5/12 рубля. Эта цена выше, чем установленная продавцами цена в 2/5 рубля за штуку. (И выше ровно на 5/12 –
2/5 = 1/60.)
| |
|
| |
139.
| Разбейте {1, 2, 9, 25, 49, 64} на два подмножества, чтобы сумма чисел одного из них была равна сумме чисел другого. | Указание
Ответ |
|
Указание. 1 + 2 + 9 + 25 + 49 + 64 = 150,
150 : 2 = 75. | |
|
Ответ. 49 + 1 + 25 = 2 + 9 + 64. | | |
|
|
140.
| Разделите полоску на 4 одинаковые части, чтобы все части имели одну и ту же сумму входящих в них чисел.
|
Указание
Ответ
|
Указание. Вычислите сумму всех чисел таблицы и разделите полученное число на 4. | |
|
|
| |
141.
| Аня и Таня вместе весят 40 кг, Таня и Маня — 50 кг, Маня и Ваня — 90 кг, Ваня и Даня — 100 кг, Даня и Аня — 60 кг. Сколько весит Аня? | Указания
Ответ |
Указания. Первый способ. Обозначив вес Ани через a (кг), получаем: Таня весит t = 40 – a кг, Маня весит m = 50 – (40 – a) = 50 – 40 + a = 10 + a кг, и так далее.
Второй способ. Удвоенный общий вес равен
(a + t) + (t + m) + (m +
v) + (v + d) + (d + a) =
= 40 + 50 + 90 + 100 + 60 = 340 кг,
так что Аня весит 340 : 2 – 50 – 100 = 20 кг.
| |
| |
|
| |
142.
| а) Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого, то соберут 90 рублей, без второго — 85, без третьего — 80, без четвёртого — 75 рублей. Сколько у кого денег?
б) Решите систему уравнений:
y + z + t = 90,
x + z + t = 85,
x + y + t = 80,
x + y + z = 75.
|
Решение |
Решение. Всего денег у купцов (90 + 85 + 80 + 75) : 3 = 110 рублей. Поэтому у первого 110 – 90 = 20, у второго 110 – 85 = 25, у третьего 110 – 80 = 30, а у четвёртого 110 – 75 = 35 рублей. | | |
| |
143.
| Средний возраст 11 игроков футбольной команды — 22 года. Во время матча один игрок получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся игроков — 21 год. Сколько лет получившему травму?
| Ответ
Указание | |
|
Указание. 11 · 22 – 10 · 21 = 32. | | |
| |
144.
| Когда Миша поступал в МГУ, учитывали средний балл аттестата о среднем образовании по двенадцати предметам. У Миши средний балл был равен 3,5. По скольким предметам ему нужно было повысить оценку на один балл, чтобы средний балл оказался равен 4? |
Ответ
Указание |
|
|
Указание. (4 – 3,5) · 12 = 6. | |
|
| |
145.
| Учитель проводит урок в классе. Возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 22 года больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько в классе учеников? | Ответ
Решение | |
|
Решение. Обозначим буквой x возраст учителя, а буквой n — количество учеников в классе. Сумму возрастов учеников можно выразить двояко: как
n(x – 24)
и как
(n + 1) · (x – 22) – x.
Приравняв эти выражения и раскрыв скобки, получаем
nx – 24n = nx – 22n + x – 22 – x,
откуда
–2n = –22,
то есть n = 11.
| |
|
| |
146.
| Прямоугольник разбит прямыми на 25 прямоугольников. Площади некоторых из них указаны на рисунке. Найдите площадь прямоугольника, отмеченного вопросительным знаком.
|
Ответ
Указание |
|
| Указание. Докажите, что произведение площадей розовых прямоугольников равно произведению площадей зелёных прямоугольников.
| |
|
| |
147.
| Катя, Лена, Маша, Нина участвовали в концерте. Каждую песню пели 3 девочки. Катя спела 8 песен — больше всех; Нина меньше всех — 5 песен. Сколько песен было спето?
|
Ответ
Указание
Решение | |
|
Указание. Сумма количеств песен, спетых девочками, кратно трём. | | |
Решение. Сумма количеств песен, спетых девочками, равна утроенному числу всех спетых песен. Поскольку ни число 5 + 6 + 6 + 8, ни число 5 + 6 + 6 + 8 не кратно трём, то Лена и Маша спели по 7 песен, а всего было спето (5 + 7 + 7 + 8) : 3 = 9.
песен. | | |
| |
148.
| Можно ли натуральные числа от 1 до 30 записать в таблицу из 5 строк и 6 столбцов, чтобы все шесть сумм чисел, стоящих в столбцах, были равны? | Ответ
Указание | |
| Указание. Сумма первых 30 натуральных чисел нечётна и поэтому не делится на 6. | |
|
| |
149.
| Можно ли заполнить числами таблицу размером а) 5×5; б) 6×6 так, чтобы произведение всех чисел любой строки было отрицательно, а произведение всех чисел любого столбца — положительно?
в) Можно ли расставить числа в таблице 19×66 так, чтобы в каждой строке сумма чисел была положительна, а в каждом столбце - отрицательна?
|
Указание |
Указание. Рассмотрите сумму всех чисел таблицы. | |
|
|
|
