|
Семь задач
|
218.
| Доску размером 8×8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5×13. Откуда появилась лишняя клетка?
|
|
Ответ
|
|
Ответ.
Диагональная линия левого рисунка не прямая; на точном рисунке виден
параллелограмм площади 1, как и следовало ожидать.
Последовательность Фибоначчи
φ1 = 1,
φ2 = 1,
φ3 = 2,
φ4 = 3,
φ5 = 5,
φ6 = 8,
φ7 = 13,
φ8 = 21,
φ9 = 34,
φ10 = 55,
φ11 = 89, ...
обладает следующим свойством: квадрат числа Фибоначчи на 1 отличается от произведения
предшествующего ему и следующего за ним чисел Фибоначчи; точнее говоря,
φn2 + (–1)n
= φn – 1φn + 1.
Например, при n = 6 формула превращается в
равенство 82 + 1 = 5 · 13, а при n = 7 —
в равенство 132 – 1 = 8 · 21.
Советую нарисовать картинки, аналогичные рисунку к условию задачи,
для нескольких других значений n.
| |
|
|
219.
| Из 40 спичек образована
квадратная решётка (каждая сторона маленького квадратика — одна спичка). Снимите 9 спичек, чтобы
полностью не сохранилось контура ни одного квадрата (состоящего
из одного или большего количества маленьких квадратиков).
(Достаточно указать один способ, как это сделать.) 
|
Пояснение
Ответ
|
|
Пояснение.
На нижеследующем рисунке убраны 9 спичек.
Полностью сохранился контур только одного квадрата:
|
|
|
|
Ответ.
|
|
|
|
|
220.
| Из прямоугольника размером 10×7 вырезали прямоугольник 1×6, как показано на рисунке. Разрежьте
полученную фигуру на две равные части, из которых можно сложить квадрат. 
| Ответ
|
|
Ответ.
| |
|
|
|
221.
| Решите ребусы: а) УМ + ШУМ = ВМШ;
б) ДУРАК + УДАР = ДРАКА;
в) ОДИН + ОДИН = МНОГО;
г) FORTY + TEN + TEN = SIXTY.
|
|
222.
| Известно, что a и b — натуральные числа, а
из следующих четырёх утверждений —
- a + 1 делится на b,
- a = 2 b + 5,
- a + b делится на 3,
- a + 7b — простое число,
— три верных, а одно неверное. Найдите все возможные пары чисел
a, b.
|
Ответ
Указание
Решение
|
|
Ответ.
a = 9, b = 2 или a = 17, b = 6.
|
|
|
|
Указание.
Докажите сначала несовместность второго и третьего условий;
затем докажите несовместность третьего и четвёртого условий.
|
|
|
|
Решение. Пусть a = 2b + 5.
Тогда
a + b = 3b + 5
не делится на 3. Следовательно,
второе и третье условия несовместны.
Далее, предположим, что число a + b
делится на 3. Тогда
a + 7b = (a + b) + 6b
делится на 3 и, поскольку a + 7b > 3,
не может быть простым числом. Мы доказали несовместность третьего
и четвёртого условий.
Следовательно, третье условие ложно, а остальные три истинны.
В частности, a = 2b + 5. Подставив это выражение
в первое условие, видим: 2b + 6 делится на b,
так что число b является делителем числа 6. Проще говоря,
b = 1, 2, 3 или 6. Рассмотрим теперь следующую таблицу:
| b | 1 | 2 | 3 | 6 |
| a | 7 | 9 | 11 | 17 |
| a + 7b | 14 | 23 | 32 | 59 |
Ответ теперь очевиден: b = 2,
a = 9 или
b = 6, a = 17.
|
|
|
|
|
223.
| Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за
верную службу дали 6 монет: 3 золотые и 3 серебряные. Каждому
досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты
достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты
достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец
ответит «да», «нет» или «не знаю» и по ответу
на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались.
|
Решение
|
|
Решение.
Вопрос может звучать так: «Верно ли, что и Алёше Поповичу, и Добрыне Никитичу досталось хотя бы по одной серебряной монете?» Если ответ утвердительный, то обе монеты Ильи Муромца — золотые. Если отрицательный, то Илье достались две серебряные монеты. А если Илья не
сможет ответить ни «да», ни «нет», то он получил за службу золотую и серебряную монеты.
Можно было задать и другие вопросы, например:
— Верно ли, что хотя бы одному из двух других богатырей
достались две серебряные монеты?
— У тебя больше золотых монет, чем у Алёши Поповича?
— Если я заберу одну из твоих монет и дам вместо неё золотую,
то станет ли у тебя больше золотых? (Заметьте, что в этом
вопросе не упомянуты монеты, доставшиеся двум другим богатырям!)
| | |
|
|
224.
| Нарисуйте на клетчатой бумаге прямоугольник
шириной 33 и высотой 32 клетки и разрежьте его на квадраты, как
показано на рисунке. (Резать можно только вдоль линий
сетки!) |
|
