МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Ответ. 15.

Решение. Когда Серёжа станет втрое старше Вовы, разность их возрастов будет равна удвоенному возрасту Вовы. Поскольку разность возрастов не меняется со временем, она всегда равна 11 – 1 = 10 годам. Значит, Вове будет 5 лет, а Серёже — 15.

Ответ. 40.

Решение. 13 + 7 = 20 лет назад я был вдвое моложе, чем сейчас. Следовательно, мне 40 лет.

Ответ. Cыну сейчас 12 лет, отцу — 36 лет.

Первый способ. Пусть с момента времени, когда отцу было 27 лет, прошло x лет. Тогда

27 + x = 3(x + 3),

откуда x = 9.

Второй способ. Разность возрастов отца и сына равна 27 – 3 = 24 годам. Сейчас отцу втрое больше лет, чем сыну. Поэтому 24 года — это удвоенный возраст сына.

Ответ. Через 5 лет.

Решение. Сейчас Махмуду 10 лет, а Абдулле — 40. Разность их возрастов (30 лет) станет удвоенным возрастом Махмуда, когда ему будет 15 лет.

Ответ. 40 лет.

Решение. Разность возрастов отца и сына не меняется со временем. Сейчас она составляет 3 возраста сына, а через 20 лет — один новый возраст сына. Но новый возраст — это старый возраст плюс 20 лет. Итак, три возраста сына есть возраст сына и 20 лет, откуда 20 лет — это 2 возраста сына.

Иначе говоря, пусть сыну x лет. Тогда отцу 4x лет. Через 20 лет сыну будет x + 20, а отцу — (4x + 20) лет. Значит,

2(x + 20) = 4x + 20,

Указание.

Ответ. 48, поскольку

Ответ. В 1703-м году.

Решение. В 1981 году разность возрастов Москвы и Петербурга была равна удвоенному возрасту Петербурга, поэтому Петербургу было 556 : 2 = 278 лет. Следовательно, Петербург основан в 1981 – 278 = 1703 году.

Ответ. В 1147-м году.

Решение. Москва была основана за 556 лет до Петербурга, то есть в 1703 – 556 = 1147 году.

Ответ. В 1703 + 556 = 2259-м году.

Решение. Москва станет вдвое старше Петербурга, когда Петербургу исполнится 556 лет, а Москве, соответственно, 2 · 556 = 1112 лет.

Решение. Обозначим искомый срок буквой x. Спустя x лет отцу будет 32 + x лет, а сыну — (5 + x). Поскольку отец должен быть в 10 раз старше сына, то

32 + x = 10(5 + x).

Решая это уравнение, получаем ответ: x = –2. «Через минус 2 года» означает «два года назад». Составляя уравнение, мы не думали о том, что возраст отца никогда в будущем не окажется в 10 раз больше возраста сына. Уравнение оказалось вдумчивее нас и позаботилось обо всём само.

Ответ. 20.

Решение. Сын моложе отца на возраст дочери и — по условию — на 20 лет. Значит, дочери 20 лет, откуда сыну 40 лет, а отцу 60 лет.

Ответ. Они ровесники, им по 6 лет.

Ответ. Мне сейчас 40 лет.

Указание. Заполните следующую таблицу:

Решение. Составим таблицу («тогда» относится ко времени, когда мне было столько лет, сколько Вам сейчас):

Посчитав двумя способами время, отделяющее «сейчас» от «тогда», составим уравнение

2y – x = x – y,

откуда 3y = 2x. Поскольку 2y + x = 70, имеем

3y = 2(70 – 2y),

откуда y = 20. Следовательно, 2y = 40.

Ответ. Зульфие 20 лет.

Решение. Пусть Зульфие сейчас x лет, а Минисе — y. По условию, x ≥ y и x + y = 35. В тот момент, когда Зульфие было столько, сколько сейчас Минисе (то есть y лет), Минисе было y – (x – y) = 2y – x лет, что по условию равно x/2. Решив полученную систему уравнений, получим x = 20 и y = 15.

Ответ. 1 год.

Начало решения. Чтобы не запутаться, обозначьте возрасты Коли, Оли и Поли буквами К, О и П соответственно. Поскольку Коля был молод, как Оля, К – О лет назад, а тётушка Поля была в возрасте Коли П – К лет назад, условие задачи можно переформулировать следующим образом:

К – О лет назад тётушке Поле было на 1 год меньше, чем К + О лет. Сколько лет было Коле П – К лет назад?

Конец решения. Условие задачи можно записать в виде равенства

П – (К – О) = К + О – 1,

то есть П = 2К – 1, а искомая величина есть

К – (П – К) = 2К – П = 1.

Ответ. Альфире 12 лет, а Эльдару — 8.

Указание. Пусть Эльдару было x лет, когда Альфира была в его нынешнем возрасте. По условию задачи, Альфире сейчас 3x лет. Заполните таблицу:

Решение. Пусть Эльдару было x лет, когда Альфира была в его нынешнем возрасте. Обозначим этот «нынешний возраст» буквой y. В будущем, когда Эльдару будет x лет, Альфире будет 28 – 3x лет:

Из уравнения

3x – y = y – x

получаем y = 2x. Теперь из уравнения

(28 – 3x) – 3x = 3x – y

находим x = 4.

Ответ. 40 лет.

Указание. Пусть сестре Игната было x лет в момент, когда она была вчетверо младше его. «Тогда» Игнату было 2x лет, а сейчас ему 4x лет.

Решение. С момента, когда Игнату было 2x лет, до сегодняшнего дня, когда ему 4x лет, прошло 2x лет. Поэтому сестре сейчас x + 2x = 3x лет. Через 15 лет Игнату будет 4x + 15, а сестре — (3x + 15) лет. Cледовательно,

(4x + 15) + (3x + 15) = 100,

откуда x = 10.

Ответ. Юре 14 лет.

Указание. Пусть Юле сейчас x лет, а Юре — y лет. Заполните следующую таблицу:

Решение. Пусть Юле сейчас x лет, а Юре — y лет. По условию, когда им вместе будет 5y лет, Юре будет 3x лет:

Поскольку «сейчас» от «тогда» отделено и с точки зрения Юли, и с точки зрения Юры одним и тем же количеством лет,

(5y – 3x) – x = 3x – y,

Вспомнив, что сумма возрастов Юры и Юли равна 26, получаем:

x + y = 26.

Очевидно, x = 12 и y = 14.