МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Ответ. Выиграет второй.

Указание. Исход игры не зависит от того, как ходят соперники.

Решение. Игра закончится, когда на доске будут стоять 8 ладей (в самом деле, если ладей меньше восьми, то существуют хотя бы одна свободная от ладей горизонталь и хотя бы одна свободная вертикаль; на клетку их пересечения можно поставить очередную ладью). Таким образом, побеждает второй. (Независимо от того, как он будет ходить; даже если он захочет проиграть, но не решится нарушить правила, у него это не выйдет).

Ответ. Может.

Решение. При изменении последней цифры числа от 0 до 9 мы получим 10 последовательных натуральных чисел. Среди любых десяти (и даже среди любых девяти) последовательных натуральных чисел обязательно есть число, делящееся на 9. Таким образом, Таня может первые три хода ни о чём не думать, а последним ходом — выиграть!

Если Тане лень суммировать семь цифр, она может вести себя иначе: на каждую написанную Аней цифру n отвечать цифрой 9 – n.

Ответ. У второго.

Решение. Выигрышная стратегия есть у второго игрока: каждым своим ходом он может возвращать ладью на диагональ a1-h8. Первый игрок вынужден будет каждый раз уводить ладью с этой диагонали. Поскольку поле h8 принадлежит диагонали a1-h8, на него поставит ладью второй игрок.

Комментарий. Проанализируем это решение. Мы выделили класс проигрышных позиций — диагональ a1-h8. Все другие начальные позиции — выигрышные. Классы выигрышных и проигрышных позиций обладают следующими свойствами:

• всякий ход из проигрышной позиции ведёт в выигрышную (только выиграет, увы, противник!);
• для любой выигрышной позиции есть ход, который переводит её в проигрышную позицию.

Ответ. а) Второй. б) Первый.

Указание. б) Сведите задачу к пункту а).

Решение. а) Второй игрок выиграет, поддерживая равенство куч (изначально кучи равны; первый своим ходом вынужден нарушить равенство, а второй может его восстановить, взяв столько же камней из другой кучи).

б) Первый игрок может взять все камни из третьей кучи. Таким образом, после его хода начнётся игра пункта а), но он будет уже вторым в этой игре, а значит, победит.

Комментарий. Сравните пункт а) этой задачи с задачей 231. Попробуйте увидеть, что это одна и та же задача (если в кучках по 8 камней).

Решение. Будем помечать знаком «–» позиции, проигрышные для начинающего, а знаком «+» — выигрышные. Очевидно, если король изначально находится на одном из полей a2, b1 или b2, то начинающий выигрывает:

Рассмотрим поля a3 и c1. Из них можно сделать ход только в выигрышные позиции, поэтому эти две позиции — проигрышные:

Клетки, из которых можно одним ходом попасть в проигрышную клетку — выигрышные:

Так можно заполнить всю доску:

Указание. Эта задача — та же, что задача пункта а).

Решение. Нарисуем клетчатую таблицу, бесконечную вправо и вверх:

Пусть в некоторый момент игры в кучах m и n камней соответственно. Поставим на поле с координатами (m;n) короля. Можно либо сместить короля на одну клетку влево (уменьшить на 1 его абсциссу, которая равна числу камней в первой куче), либо на одну клетку вниз (взять камень из второй кучи), либо на одну клетку по диагонали влево-вниз (взять по камню из обеих куч). Победит тот, кто получит ситуацию (0;0) – две пустые кучи, то есть тот, кто поставит короля на нижнюю левую клетку. Таким образом, эта задача совпадает с задачей пункта а), и мы может сразу нарисовать ответ:

Таким образом, если изначально в обеих кучах было чётное число камней, то начинающий проигрывает, если же хотя бы в одной куче число камней нечётно — выигрывает.

Ответ. Начинающий может победить, если количество камней в куче не кратно трём.

Ответ. Выигрывает второй игрок.

Указание. Проследите за тем, как меняется чётность расстояния между фишками в процессе игры.

Решение. Назовём расстоянием между фишками число пустых клеток между ними. В начальном положении оно равно 10. Очевидно, после каждого хода расстояние между фишками увеличивается или уменьшается на 1, а значит, меняет чётность. Таким образом, после каждого хода первого игрока расстояние будет нечётным, то есть между фишками будет хотя бы одна клетка и у второго игрока всегда будет возможность пойти «вперёд» (в направлении фишки соперника).

Вопрос. Каким будет ответ в общем случае (если длина полоски — не 12, а n клеток)?

Ответ. Чуня.

Указание I. Если к некоторому чётному числу прибавить 3, 5 или 7, то получится одно из трёх последовательных нечётных чисел. Найдите в первой сотне три последовательных нечётных составных числа.

Указание II. В первой сотне есть лишь одна тройка последовательных нечётных составных чисел: 91, 93 и 95. Поэтому единственный шанс остановить игру в пределах первой сотни — получить число 88.

Решение. Чуня может независимо от ходов Прони называть числа 8, 18, 28, 38, ..., 88 (в самом деле, если Проня прибавит 3, то Чуня прибавит 7; если 5 — то 5, если 7 — то 3).

Ответ. Победит начинающий.

Указание. Анализируйте задачу «с конца», отмечая выигрышные и проигрышные позиции, как мы это делали в задачах 231 и 233.

Решение. Очевидно, позиции 3 и 4 — выигрышные. Значит, позиция 1 — проигрышная (все ходы из неё ведут на выигрышные позиции), 10 и 11 — выигрышные (из них можно пойти на проигрышную позицию 1). Рассуждая таким образом и дальше, получим, что позиция 8 — проигрышная, 5 — выигрышная, 2 — проигрышная и, наконец, 12 — выигрышная.

Ответ. Победит начинающий.

Решение. Очевидно, игрок, перед ходом которого получилось число, не меньшее 112 (но меньшее 1000), выигрывает. Значит, игрок, начинающий с числа, не меньшего 55, но меньшего 112, проигрывает (любой его ход даст число в промежутке от 112 до 999). Теперь те числа, из которых одним ходом можно получить число от 56 до 111 (включительно), являются выигрышными. Это числа от 8 до 55. Наконец, числа от 4 до 7 — проигрышные. Таким образом, первый игрок может назвать одно из чисел от 4 до 7, и при правильной игре выиграет.

Ответ. Победит второй.

Решение. Для победы второму игроку достаточно совершать ходы, симметричные ходам первого относительно центра доски.

Ответ. Победит начинающий.

Решение. Начинающий выиграет, разбив первым ходом минусы на два «куска» равной длины. После этого начинающий может каждым ходом переправлять минусы, симметричные тем, которые перед этим переправил второй.

Ответ. Выиграет второй.

Решение. Своим первым ходом второй игрок может сорвать один или два соседних лепестка, так расположенных напротив сорванного первым игроком лепестка (или лепестков), чтобы все остальные лепестки оказались разделены на две одинаковые группы. После этого второй игрок сможет совершать такие же ходы, как и первый, но в другой группе.

Ответ. Выигрывает первый.

Решение. Своим первый ходом начинающий может закрасить центральную клетку квадрата, а затем поддерживать центральную симметрию.

Ответ. Выигрышная стратегия есть у начинающего.

Решение. Первым своим ходом начинающий может провести хорду AB, по обе стороны которой будет одинаковое количество отмеченных точек. Занумеруем точки, лежащие по одну сторону от AB в порядке следования красными цифрами 0(точка А), 1, 2, ...,9, 10(точка В), а точки, лежащие по другую сторону — зелеными цифрами 0(точка A), 1, 2, ..., 9, 10(точка B). Теперь первый игрок может симметрично отражать ходы своего соперника относительно хорды AB, а именно: соединять точки с теми же номерами, что соединил перед этим соперник, но другого цвета (разноцветные точки соперник соединить не сможет, поскольку в этом случае ему придётся пересечь хорду AB, что запрещено правилами).

Ответ. Выигрышная стратегия есть у второго игрока.

Решение. Для победы второму игроку достаточно совершать ходы, симметричные ходам соперника относительно центра квадрата.

Ответ. Победит начинающий.

Решение. Начинающий может своим первым ходом отломить и съесть нижние 6 горизонтальных рядов. После этого останется прямоугольник с дёгтем в центре. Далее работает центрально-симметричная стратегия.

Ответ. Победит второй игрок.

Решение. Клетка C находится на диагонали квадрата. Второй игрок может делать разломы вдоль прямых, симметричных прямым, вдоль которых делает разломы первый игрок, относительно этой диагонали. Таким образом, после каждого хода второго игрока будет получаться всё меньший и меньший квадрат, в котором клетка с дёгтем по-прежнему лежит на диагонали.