МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Ответ. Это можно сделать шестью способами: 3150, 6150, 9150, 1155, 4155, 7155.

Указание. Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 3. Значит, последней цифрой должна быть одна из цифр 0 и 5; осталось в каждом из этих двух случаев подобрать первую цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3.

Указания.

• Число делится на 72 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 8.
   
• Число делится на 8 тогда и только тогда, когда его три последние цифры образуют число, делящееся на 8.
   
• Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Ответ. 4104.

Ответ. Нет.

Решение. Число 12 делится как на 4, так и на 6, но не делится на 24.

Ответ. 9876543120.

Решение. Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 4. Сумма всех десяти цифр делится на 9, поэтому любое число, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу, делится на 9. Самым большим таким числом является число 9876543210. Но оно не делится на 4 (ибо число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4). Нужно добиться делимости на 4, минимально уменьшив при этом число. Очевидно, число 9876543120 делится на 4. Больше него только числа 9876543210 и 9876543201, которые на 4 не делятся.

Ответ. Звёздочку можно заменить одной из цифр 1, 4, 7.

Указание. Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9.

Ответ. 72135 или 72630.

Ответ. Нельзя.

Указание. Числа 1, 10, 100, 1000, 1000000 дают остаток 1 при делении на 9.

Решение. Номинал каждой купюры даёт остаток 1 при делении на 9. Значит, сумма денег, отсчитанная полумиллионом купюр, даёт такой же остаток при делении на 9, что и число 500000, то есть 5. Однако, число 1000000 даёт остаток 1 при делении на 9.

Ответ. а) 98; б) 98 – 89 = 9.

Указание. Составьте уравнение

(10a + b) – (10b + a) = a.

Ответ. Верно.

Указание. Натуральное число даёт при делении на 9 такой же остаток, как и сумма его цифр (докажите это!). Поэтому числа, отличающиеся лишь перестановкой цифр, дают одинаковые остатки при делении на 9 — это означает, что их разность делится на 9.

Ответ. 18, 45, 90, 99.

Решение. Пусть n — искомое число, а s(n) — сумма его цифр. Так как число 9n делится на 9, то и сумма его цифр s(9n) делится на 9, а поскольку по условию s(9n) = s(n), то и само число n делится на 9. Итак, искомые числа находятся среди следующих: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99. Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли эти числа условию задачи, то есть умножить каждое из них на 2, 3, 4, ..., 8, 9 и посмотреть, не изменилась ли сумма цифр.

Ответ. Нет, не существует.

Указание. Разложите число 528 на простые множители.

Решение. Поскольку

528 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 11,

то всякое число, делящееся на 528, делится и на 11. Но никакая ненулевая цифра не делится на 11.

Ответ. Количество цифр может быть любым, кратным 81.

Указание. 999 999 999 = 111 111 111 · 9. Значит, рассматриваемое число должно делится на 111 111 111, а полученное в результате этого деления частное должно делиться на 9.

Указание. Вспомните признаки делимости на 3 и на 9.

Решение. Пусть A — исходное число, B — число, в три раза меньшее A, полученное из A путём перестановки цифр. Поскольку A = 3B, то A делится на 3. Это значит, что и B делится на 3, так как сумма цифр числа B равна сумме цифр числа A. Таким образом,

B = 3m,

где m — целое, и

A = 3B = 9m.

следовательно, A делится на 9. Значит, B тоже делится на 9 (делимость на 9 определяется, как и делимость на 3, суммой цифр числа), а поэтому

A = 3B = 3 · 9 n = 27n

делится на 27.

Ответ. 887.

Ответ. 9.

Комментарий. На компьютере легко посчитать, что число 100! — произведение первых 100 натуральных чисел — равно
 

Указание. Вспомните признак делимости на 9 и заметьте, что 100! делится на 9.

Ответ. Больше всего получилось единиц.

Указание. Сумма цифр натурального числа n дает такой же остаток при делении на 9, как и само число n.

Решение. Сумма цифр натурального числа n даёт такой же остаток при делении на 9, как и само число n, поэтому все числа, кратные девяти, превратятся в конце концов в нули или девятки, все числа, дающие остаток 1 при делении на 9 — в единицы, дающие остаток 2 — в двойки, и так далее. Остаётся лишь заметить, что среди первого миллиона натуральных чисел остаток 1 дают 111 111 112 чисел, а остатки 2, 3, ..., 8, 0 — по 111 111 111 чисел.

Указание. Число ДДЕЕ делится на 11.

Решение. Так как ДДЕЕ = 11 · Д0E, то правая часть равенства делится на 11. Если равенство верное, то на 11 должна делится и левая его часть, то есть произведение АБ · ВГ. Число 11 — простое, поэтому произведение делится на 11 только в том случае, если один из множителей делится на 11. Очевидно, ни АБ, ни ВГ на 11 не делятся.

Указание I. Очевидно, aa = 11 · a. Далее,

abcabc = 100100a + 10010b +1001c,

а число 1001 кратно числу 11. Аналогичным образом, воспользовавшись делимостью числа 100001 на 11, можно разобрать и случай abcdeabcde. В общем случае используйте делимость на 11 любого чётнозначного числа вида 1000...0001 (точнее говоря, числа, первая и последняя цифра десятичной записи которого равны единице, а остальные цифры равны нулю, причём количество нулей чётно).

Указание II. Воспользуйтесь признаком делимости на 11.