МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

ПАРАДОКСЫ и СОФИЗМЫ

«Софизм» и «парадокс» — слова греческие. «Софизм» означает рассуждение, формально кажущееся совершенно безупречным, но содержащее на самом деле ошибку, в результате чего конечный вывод оказывается абсурдным. Одним из наиболее известных софизмов является следующий: «То, что ты не терял, ты имеешь; ты не терял рогов, следовательно, ты их имеешь.» В парадоксе, наоборот, умозаключение, кажущееся неверным, противоречащим «здравому смыслу», на самом деле справедливо.

Рефлексия

Сознание — это зажжённые фары впереди идущего паровоза. Обратите их светом внутрь, и случится катастрофа.

Все слышали нескончаемую историю о священнике и собаке. Это стихотворение интересно тем, что оно снова и снова возвращается к самому себе, подобно змее, заглатывающей собственный хвост.

Следующая фраза — типичный пример предложения, говорящего о себе самом. Пересчитайте буквы, и Вы убедитесь, что это — чистая правда:

• В этой фразе двадцать восемь букв.

Вот другие примеры:

• Вы только что начали читать предложение, чтение которого Вы уже заканчиваете.

• В этой фразе два раза встречается слово «в», два раза встречается слово «этой», два раза встречается слово «фразе», четырнадцать раз встречается слово «встречается», четырнадцать раз встречается слово «слово», шесть раз встречается слово «раз», девять раз встречается слово «раза», семь раз встречается слово «два», три раза встречается слово «четырнадцать», три раза встречается слово «три», два раза встречается слово «девять», два раза встречается слово «семь», два раза встречается слово «шесть».

• Only the fool would take trouble to verify that his sentence was composed of ten a's, three b's, four d's, forty-six e's, sixteen f's, four g's, thirteen h's, fifteen i's, two k's, nine l's, four m's, twenty-five n's, twenty-four o's, five p's, sixteen r's, forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's, eight w's, four x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes, seven hyphens, and, last but not least, a single !

• In this sentence, the word and occurs twice, the word eight occurs twice, the word four occurs twice, the word fourteen occurs four times, the word in occurs twice, the word occurs occurs fourteen times, the word sentence occurs twice, the word seven occurs twice, the word the occurs fourteen times, the word this occurs twice, the word times occurs seven times, the word twice occurs eight times and the word word occurs fourteen times.

• Это предложение содержит двенадцать слов, двадцать шесть слогов и семьдесят три буквы.

• Когда за этим предложением не наблюдают, оно написано по-немецки.

• .иксбара-оп тюатич, овелан аварпс, кат оннемИ

• Девять слов назад это предложение ещё не началось.

• Это предложение состояло бы из десяти слов, если бы оно было на пять слов короче.

• Если бы это предложение не существовало, кто-нибудь придумал бы его.

• Если бы я дописал это предложение,

• Определение (из учебника психиатрии). Душевнобольным называют душевнобольного, вступившего в конфликт с обществом.

• Объявление на двеpи мастеpской:

  МЫ РЕМОHТИРУЕМ ВСЁ!

  (Стyчите гpомче — звонок не pаботает.)

• Как выглядело бы это предложение, если бы p равнялось 3? (Заметьте, в мире, где p действительно равно 3, Вы сказали бы не «если бы p = 3», а «если бы p = 2» или «если бы p не равнялось 3». Впрочем, изменить p — значит глубочайшим образом изменить и всю математику, и весь мир. Пожалуй, ни понятие «предложение», ни «3» не выдержали бы такого потрясения.)

• Где бы Вы ни встретили это предложение, уничтожьте его.

• Этот принцип настолько всеобъемлющ, что никакое частное его применение невозможно.

• То, что я Вам сейчас предсказываю, сбудется.

• Вы меня помните? Я — тот самый человек, который не произвёл на Вас никакого впечатления.

• Почему все неприятности происходят в самое неподходящее время?

• Не напоминает ли это предложение о Пушкине?

• Представьте, что на последней, 500-й странице книги напечатано:

  ОПЕЧАТКИ

  с. 500: Вместо «Опечатки» следует читать «Опечатка».

• Случай на экзамене. Билет включал в себя следующее: «Напишите вопрос, подходящий для выпускного экзамена по этому курсу, а затем ответьте на него.» Для ответа достаточно дважды переписать этот вопрос!

• К переводу своей статьи Литлвуд написал примечания:

  Я весьма благодарен профессору Риссу за перевод этой статьи.
  Я также благодарю профессора Рисса за перевод последнего предложения.
  Я также благодарю профессора Рисса за перевод последнего предложения.

  Почему этот ряд благодарностей не нужно продолжать?

Самоотрицание

Плюрализм нужен нашей стране как воздух, и двух мнений об этом быть не может.

• Лозунг «Короче!» сам следует тому, к чему призывает. А вот приказ «Не сметь командовать!» противоречит сам себе.

• Самозванцев нам не надо: командиром буду я.

• Вообразите майку с надписью «На этой майке ничего не написано»?!

• Не противоречит ли само себе правило «Нет правил без исключения»?

• Не слушайся меня!

• Здес рровно три ошибки. (Слово «три» — ошибка или нет?)

• Как перевести на русский язык предложение "It's difficult to translate this English sentence into Russian" (дословный перевод: "Трудно перевести это английское предложение на русский язык")? Наверно, так: "Это предложение трудно перевести с русского на английский".

• Я вынужден был перевести это предложение на русский язык, поскольку не сумел прочитать его в оригинале — на санскрите.

Парадокс лжеца

• Ещё в Древней Греции знали «парадокс лжеца». Представьте себе, что некто говорит: «Я лгу.» Или представьте, что Вы читаете в книге:

  То, что здесь написано,— неправда.

• В одном полку брадобрею приказали брить всех тех, кто не бреется сам. Должен ли брадобрей брить сам себя?

• Может ли Всемогущий Бог создать камень, который он сам поднять не сможет?

• Что произойдёт, если всесокрушающее пушечное ядро попадёт в несокрушимую броню?

• Каждое натуральное число можно назвать, произнеся несколько слов. Например, число 2 задаётся одним словом, а число 22 — двумя. Рассмотрим наименьшее число, которое нельзя задать меньше чем десятью словами. Его описание состоит всего из 9 слов, что противоречит его основному свойству.

Софизмы

• Если равны половины, то равны и целые. Полупустой стакан равен полуполному; следовательно, пустой стакан равен полному.

• Рассмотрим равенство 1 = 2/(3 – 1). Если единицу в знаменателе заменим на 2/(3 – 1), то получим: 1 = 2/(3 – 2/(3 – 1)). Повторив эту операцию по отношению к новой единице, стоящей в знаменателе, и поступая далее подобным образом, мы построим бесконечную цепную дробь:
  1 = 2/(3 – 2/(3 – 2/(3 – 2/(3 – ... .
  С другой стороны, 2=2/(3-2), так что
  2=2/(3-2)=2/(3-2/(3-2))=2/(3-2/(3-2/(3-2/(3-... .
  Построенные дроби равны! Значит, равны и числа, из которых они получены, то есть 1 = 2. Сильный и очень важный результат, который многие учителя скрывают от своих учеников!

• Обозначим
  S=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+... Очевидно,
  S/2=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12+... (*)
  Вычитая это равенство из предыдущего, получаем:
  S-S/2=1+1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+... (**)
  Поскольку 1/2<1, 1/4<1/3, 1/6<1/5, 1/8<1/9, и вообще, 1/2n<1/(2n-1), то каждое слагаемое правой части формулы (*) меньше соответствующего слагаемого формулы (**). Следовательно, S/2<S-S/2, что удивительно.

Потешные истории

• Крестьянин шёл по дороге со своим сыном. Сын рассказывал что-то отцу и сказал ему неправду. Крестьянин догадался, что сын обманывает его. Тогда он сказал: «Сейчас, сынок, мы подходим к мосту. Этот мост не простой, а волшебный — он проваливается под теми, кто говорит неправду.» Когда сын услышал это, он испугался и признался отцу, что обманул его. Хотите узнать, что было дальше? А дальше крестьянин со своим сыном вступили на мост, и мост провалился под крестьянином — ведь никаких волшебных мостов на самом деле не бывает.

• В одной начальной школе ученики сидели в кабинетах, а учителя приходили к ним проводить уроки. Hо дети в таком возрасте э-э... не очень ответственны и поэтому часто случалось так, что один учитель уже ушёл, другой ещё не пришёл, а ученики шалят. Измученный жалобами родителей директор придумал простое решение: во время урока он по внутреннему радио приказал учителям оставаться в кабинете до прихода следующего учителя. Только в начале второго урока некоторые из них заподозрили неладное.

• Папа поучает сына:
  — Запомни, сынок, умный человек всегда во всем сомневается. Только дуpак может быть полностью увеpенным в чём-то.
  — Ты увеpен в этом, папа?
  — Абсолютно.

• К Эдисону пpишёл молодой человек наниматься на pаботу.
  — Над чем Вы думаете pаботать?— спpосил Эдисон.
  — Я хотел бы получить кислоту, pазъедающую все известные матеpиалы.
  — Этого мне не нужно,— ответил Эдисон.
  — Почему?
  — А в чём я буду её хpанить?

• Жена, уезжая на дачу, оставляет на столе записку: «Коля, ключи у соседки». Выходит, запиpает двеpь, отдаёт ключи соседке и уезжает...

• Юридический казус. Встретились в пустыне три путника. Двое, не сговариваясь, решили убить третьего. Ночью один из них отравил его воду, а другой (не зная о том!), проколол бурдюк с водой так, что вода вскорости вытекла и бедняга погиб от жажды.

  Кто убийца? В суде второй утверждал, что благодаря нему третий прожил даже дольше, чем если бы он выпил отраву. А отравитель оправдывался тем, что весь яд вытек и никак не повредил жертве.

• При строительстве моста через Неву несколько тысяч человек были заняты бойкою свай, что, не говоря уже о расходах, чрезвычайно замедляло работы. Искусный строитель генерал Корбец выдумал машину, значительно облегчившую и ускорившую этот труд. Сделав опыты, описание машины он представил Главноуправляющему путей сообщения и получил на бумаге официальный и строжайший выговор: зачем он этой машины прежде не изобрёл и тем ввёл казну в огромные и напрасные расходы.

• Начальник зырянского узла связи Ляпунов пожаловался в милицию: «Джемилёв нарушает правила ведения междугородных разговоров... Он утверждает, что мы подслушиваем его переговоры. Прошу разъяснить Джемилёву, что его действия носят оскорбительный характер, а подобные утверждения являются клеветой.» В обоснование своей жалобы Ляпунов прилагает докладную телефонистки Пенягиной с изложением содержания разговора Джемилева. («Хроника текущих событий», 1980 г.)

• В 2007 году судья Бутырского суда Москвы Наумова, когда ей не понравились свидетельские показания, приняла решение: определить свидетельницу Пронину Юлия Дмитриевну саму себе матерью. И дальше — умные и брезгливые в России судьи! — решила, что выслушивать показания такого чудовища невозможно и поэтому не нужно. Мосгорсуд и Генпрокуратура согласились с мнением судьи Наумовой: ведь судьи в России независимы и судят только по совести, так что если судья решила, что ты мать сама себе — так оно есть и будет!

• Мэр Москвы Лужков подал в суд в 2007 году требование осудить Эдуарда Лимонова за клевету, поскольку тот в интервью радио «Свобода» сказал, что московские суды слушаются мэра и никогда не отказывают ему ни в каких, самых вздорных просьбах. Суд не сразу исполнил требование мэра, поскольку тот забыл сказать, какому именно наказанию следует подвергнуть Лимонова, а напрямую звонить в мэрию Лужков судьям не разрешает. Затем Лужков уточнил просьбу — и суд тотчас присудил то, что ему приказано: приказать считать, что зависимость московского суда от мэра — клевета, и выплатить миллион рублей (половину суммы суд присудил взять лично с Лимонова, половину — с радиостанции, на волнах которой прозвучало его мнение).