МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Указание. Один процент — это 138 : 23 = 6 страниц.

Ответ. 600 страниц.

Указание. Составьте и решите уравнение x + 0,6x = 80.

Ответ. В одной стопке 50 тетрадей, в другой — 30.

Ответ. 30 литров.

Решение. 12,5% — это ¹/₈ часть. Значит, после переливания в первом бидоне осталось ⁷/₈ первоначального объёма молока. Если 35 литров — это ⁷/₈, то 35 : 7 = 5 литров — ¹/₈. Значит, было перелито 5 литров, а во втором бидоне первоначально было 35 – 5 = 30 литров молока.

Ответ. Произведение уменьшилось на 25%.

Решение. Пусть x — множимое, y — множитель. Увеличив x на 50%, получим 1,5x. Уменьшив y на 50%, получим 0,5y. Произведение превратилось в

1,5x · 0,5y = 0,75xy,

что составляет 75% первоначального произведения xy.

Ответ. Эти величины равны.

Ответ. Цена останется прежней, ибо сначала её умножат на 2, а затем разделят на 2.

Ответ. После снижения цены картофель стал на 4% дешевле, чем до повышения.

Решение. Если цену картофеля до повышения принять за 100 частей, то после повышения она составила 120 частей, а после снижения на 20% цена уменьшилась на 120 · 20 : 100 = 24 части и стала равна 120 – 24 = 96 частям, то есть составила 96% исходной цены.

Вычисления проще было провести так:

1,2 · 0,8 = 0,96.

(Обязательно разберитесь, почему умножить на 1,2 — значит увеличить на 20%, а умножить на 0,8 — значит уменьшить на 20%.)

Ответ. На 19 метров.

Решение. На каждых 10 метрах бега бегуна В бегун С отстаёт от него на 1 метр. Поэтому, когда А финишировал, В отставал от А на 10 метров, а С отставал от В на 9 метров. Значит, С отставал от А на 19 метров.

Ответ. Выгоднее совершать покупки во втором магазине.

Решение. Уменьшить число на 10% — то же самое, что умножить его на 0,9; уменьшить на 20% — умножить на 0,8. Таким образом, если x — начальная цена товара, то после понижения в первом магазине она станет равна

0,9 · 0,9 · x = 0,81x,

в то время как во втором магазине — 0,8x.

Ответ. Похудел.

Решение. Если принять за x начальный вес Обломова, то к концу весны Обломов весил 0,75x, к концу лета — 1,2 · 0,75x, к концу осени — 0,9 · 1,2 · 0,75x, а к концу года —

1,2 · 0,9 · 1,2 · 0,75x = 0,972x < x.

Ответ. 240 литров.

Решение. Для начала найдём массу соли в 40 кг морской воды. Она равна 40 : 100 · 3,5 = 1,4 кг. Столько же соли получится и в смеси, которую нам нужно получить (ведь добавляем мы пресную воду). Найдём массу m этой смеси, зная, что 0,5% от неё равны 1,4 кг:

m : 100 · 0,5 = 1,4.

Отсюда m = 280. Таким образом, нужно добавить 240 литров пресной воды.

Ответ. 90%.

Ответ. 7.

Решение. Обозначим общее число участников кружка буквой n, а число мальчиков среди них — буквой m. Тогда по условию

40 < (m/n) · 100 < 50,

то есть 2m < n < 2,5m. Очевидно, при m = 1 и при m = 2 целого значения n, удовлетворяющего этим неравенствам, не существует. При m = 3 такое значение уже есть. Это n = 7. При m > 3 значения n, очевидно, больше 7.

Ответ. 7.

Ответ. На 50%.

Решение. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, то есть Боря собрал в 1,2 раза больше грибов, чем Алик. Поскольку Боря собрал на 20% меньше грибов, чем Вася, то Боря собрал 0,8 от собранного Васей количества грибов, то есть Вася собрал в 1 : 0,8 = 1,25 раза больше, чем Боря. Учитывая, что Боря собрал в 1,2 раза больше, чем Алик, заключаем: Вася собрал грибов в 1,2 · 1,25 = 1,5 раза больше, чем Алик.

Обратите внимание: высказывания «число х на 20% меньше числа у» и «число у на 20% больше числа х» имеют разный смысл!

Ответ. На 30%.

Решение. Уменьшить число на сколько-то процентов — это значит умножить его на некоторое число, меньшее единицы, а именно на число 1 – (ⁿ/₁₀₀), где n показывает, на сколько процентов уменьшаем число. Пусть M — объём выпускаемой предприятием продукции. Тогда после уменьшения этого числа на 51% получим 0,49M. Такого же результата мы должны достичь двукратным понижением на одно и то же число процентов, то есть двукратным умножением на некоторое число w:

w · w · M = 0,49M.

Отсюда w = 0,7. Умножение числа на 0,7 — это уменьшение его на 30%.

Ответ. Половину.

Решение. Пусть V — первоначальный объём спирта (в нашем случае V = 20, но это не важно). Отлить какую-то его часть — значит умножить объём спирта на некоторое число w, меньшее единицы (к примеру, отлить 1/7 — то же самое, что умножить имеющийся объём на 6/7). Таким образом, после первого отливания и добавления воды мы получили раствор объёмом V, в котором содержится wV литров спирта. Поскольку спирт в этом растворе распределён равномерно по всему объёму, а отливали во второй раз такую же часть объёма раствора, как и в первый раз, то после второго отливания останется w²V литров спирта. При этом спирта оказалось втрое меньше, чем воды — значит, спирт занимает одну четвёртую объема всего раствора, который остался неизменным. Таким образом,

w²V = V/4,

откуда w = 1/2.

Ответ. На 50%.

Решение. Пусть n — искомое число процентов. Увеличение числа на n% равносильно его умножению на (1 + ⁿ/₁₀₀), а уменьшение на n% — умножению на (1 – ⁿ/₁₀₀). Обозначим для краткости записи n/100 = w и составим уравнение:

51,2(1 + w)(1 + w)(1 + w)(1 – w)(1 – w)(1 – w) = 21,6,
((1 + w)(1 – w))³ = ^21,6/_51,2 ,
(1 – w²)³ = ²⁷/₆₄ = (³/₄)³ ,
1 – w² = ³/₄ ,
w² = ¹/₄ ,
w = ¹/₂ ,
n = 100w = 50.

Указание. Примем денежку за единицу, стоимость хлеба обозначим буквой x, а стоимость кваса — буквой y. Составим уравнения:

x + y = 1

— до повышения цен,

1,2(0,5x + y) = 1

— после повышения. Значит,

0,6x + 1,2y = 1.

Теперь легко найти x и y, а затем посчитать 1,2 · 1,2y — стоимость кваса после двух повышений цен.

Ответ. Хватит.

Ответ. 4,5 часа.

Решение. Пусть t — время, затраченное катером на первую половину пути. Вторую половину пути он шёл со скоростью, в 1,25 раза большей запланированной, а значит, затратил в 1,25 раза меньше времени, то есть t/1,25 = 0,8t. Составим уравнение:

0,8t = t – ¹/₂.

Отсюда t = 2,5. Таким образом, первую половину пути катер прошёл за 2,5 часа, а вторую — за 2 часа.

Ответ. 1000 рублей.

Решение. Пусть до повышения цены было продано n билетов, а выручка составила s рублей. Тогда

800n = s.

Пусть x рублей — новая цена билета. Поскольку после повышения цены было продано 0,75n билетов, а выручка составила s — 0,0625s = 0,9375s рублей, то

0,75nx = 0,9375s = 0,9325 · 800n.

Следовательно,

x = 0,9375 · 800 : 0,75 = 1000.